2-2函数的求导法则

发表于 | 更新于 | 分类于 ， ， ，

 

2-2函数的导法则

  • 函数的和、差、积、商的求导法则
  • 反函数的求导法则
  • 复合函数的求导法则

函数的和、差、积、商的求导法则

四则运算求导法则


如果函数$u=(x)$和$v=v(x)$都在点x可导,那么它们的和、差、积、商(除分母为0的点外)都在点$x$可导,且:

  • $(u \pm v)’=u’ \pm v’$
  • $(uv)’=uv’+uv’$
  • $(\dfrac{u}{v})’=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}$,($v(x)\ne 0$)

推广




$(Cu(x))’=Cu’(x)$

例题

例2 自然对数的导数

例3 正切函数的导数

其他三角函数的导数

反函数的求导法则

定理 反函数求导法则

例题

反正弦函数的导数

其他反三角函数的导数

导数公式汇总

常数和基本初等函数的导数公式


常数和基本初等函数的导数公式表

序号导数公式导数公式
1$(C)’=0$$(x^u)’=ux^{u-1}$
2$(a^x)’=a^x\ln a$$(e^x)’=e^x$
3$(log_ax)’=\dfrac{1}{x\ln a}$$(\ln x)’=\dfrac{1}{x}$
4$(\sin x)’=\cos x$$(\cos x)’=-\sin x$
5$(\tan x)’=\dfrac{1}{\cos^2x}=sec^2x$$(\cot x)’=-\dfrac{1}{\sin^2x}=-csc^2x$
7$\int \sec x\tan xdx=\sec x+C$$\int \csc x cot x dx=-cscx+C$
6$(\sec x)’=\sec x\tan x$$(\csc x)’=-\csc x\cot x$
7$(\arcsin x)’=\dfrac{1 }{\sqrt{1-x^2}}$$(\arccos x)’=-\dfrac{1 }{\sqrt{1-x^2}}$
8$(\arctan x)’=\dfrac{1}{1+x^2}$$(arccot x)’=-\dfrac{1}{1+x^2}$
  • $x’=1$
  • $(x^2)’=2x$
  • $(\sqrt{x})’=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
  • $(\dfrac{1}{x})’=-\dfrac{1}{x^2}$

复合函数的求导法则

定理 复合函数的求导法则

例题

推广

例题



小结



习题

题1


解:
$$
\begin{aligned}
y’=&2x\ln x+(\ln x)’x^2 \nonumber \\
=&2x\ln x+ \dfrac{1}{x} x^2 \nonumber \\
=&2x\ln x+ x \nonumber \\
\end{aligned}
$$

题2


解:
$$
\begin{aligned}
y’=&(\dfrac{\ln x}{x})’ \nonumber \\
=&\dfrac{(\ln x)’x- x’\ln x}{x^2} \nonumber \\
=&\dfrac{\dfrac{1}{x} x- \ln x}{x^2} \nonumber \\
=&\dfrac{1- \ln x}{x^2} \nonumber \\
\end{aligned}
$$

题3


解:特殊三角函数值
$y’=\cos x-(-\sin x )=\cos x+\sin x$
所以:
$\left. y’\right|_{x=\frac{\pi}{6}}
=\cos \dfrac{\pi}{6}+\sin \dfrac{\pi}{6}
=\dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{2}
$

$\left. y’ \right|_{x=\frac{\pi}{4}}
=\cos \dfrac{\pi}{4}+\sin \dfrac{\pi}{4}
=\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}
=\sqrt{2}
$

题4


解
$\dfrac{dy}{dx}=y’
=\dfrac{1}{1+x^2}\times (1+x^2)’
=\dfrac{1}{1+x^2}\times 2x
$

题5


解:$\dfrac{dy}{dx}=f’(x^2)\times 2x$

本文链接: 2-2函数的求导法则

0%