1-4无穷小量无穷大量

无穷小

无穷小的运算性质

在某个极限过程中:

定理有限个无穷小的代数和仍是无穷小

在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小

有界函数与无穷小的乘积是无穷小

推论1

在同一过程中有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小

推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小

推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小

无穷大

注意

无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量不一定是无穷大
无穷大量一定是无界量

无穷大表示极限不存在

当$\lim \limits_{x \to x_0 }f(x)= \infty $表示极限不存在,切勿将$\lim \limits_{x \to x_0 }f(x)= \infty $认为极限存在

无穷大量运算性质

在某一个极限过程中:

两个无穷大量之积仍是一个无穷大量
无穷大量一定是无界量,但无界量不一定是无穷大量
无穷大量与有界量的和不一定是无穷大量
无穷大量与有界量的乘积不一定是无穷大量

无穷大量与有界量之和不一定是无穷大量

例:

无穷大量与有界量的乘积不一定是无穷大量

铅直渐近线

无穷大与无穷小之间的关系

习题

A.极限为0
B.右极限为$-\infty$
C.$arctan+\infty=\dfrac{\pi}{2}$
D.$arccot+\infty=0$

A.x是无穷小，sinx是无穷小。所以是无穷小
B.$\lim \limits_{x \to 0^=+}=-\infty$
C.$\dfrac{1}{x}$为$+\infty$,$arctan+\infty=\dfrac{\pi}{2}$
D.$\lim \limits_{x \to 0^+}arccot\dfrac{1}{x}=0$