有理数
两个多项式的商表示的函数叫有理函数。例如:
$\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n}{b_0x^m+b_1x^{m-1}+\cdots+b_{m-1}x+b_m}$
其中m、n都是非负整数;$a_0,a_1,…,a_n$及$b_0,b_1,…,b_m$都是实数,并且$a_0≠0,b_0≠0$
真分式假分式
我们总假定分子与分母之间没有公因式.
(1)当n<m时(分子的最高次数n小于分母的最高次数m),上述有理函数叫真分式
(2)当n≥m时(分子的最高次数n大于或等于分母的最高次数m),上述有理函数叫假分式
利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例如:
$\dfrac{x^3+x+1}{x^2+1}=\dfrac{x(x^2+1)+1}{x^2+1}=x+\dfrac{1}{x^2+1}$
真分式分解定理
任何一个真分式可以化为一些形如
$\dfrac{\sum\limits_{n=0}^{k-1}a_nx^n}{(x-p)^k}$和$\dfrac{\sum\limits_{n=0}^{2k-1}a_nx^n}{(x^2+px+q)^k}$的一些真分式的和。
定理1
(1)每个$\dfrac{\sum\limits_{n=0}^{k-1}a_nx^n}{(x-p)^k}$可以分解为:
$\dfrac{A_1}{(x-p)^k}+\dfrac{A_2}{(x-p)^{k-1}}+\cdots+\dfrac{A_k}{x-p}$
其中$A_1,A_2,\cdots,A_k$都是常数.
特别地:当$k=1$时,分解后为$\dfrac{A}{x-a}$;
定理2
(2)对每个分母为$(x^2+px+q)^k$的部分,分解后为:
$\dfrac{M_1x+N_1}{(x^2+px+q)^k}+\dfrac{M_2x+N_2}{(x^2+px+q)^{k-1}}+\cdots+\dfrac{M_kx+N_k}{x^2+px+q}$
其中$M_i,N_i$都是常数$(i=1,2,…,k)$
特别地,当k=1时,分解后为$\dfrac{Mx+N}{x^2+px+q}$
真分式化为部分分式之和的待定系数法
例1
$$
\begin{aligned}
\dfrac{x+3}{x^2-5x+6}=&\dfrac{x+3}{(x-3)(x-2)} \\
=&\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{x-3} \\
\end{aligned}
$$
因为$x+3=A(x-3)+B(x-2)$
所以$x+3=(A+B)x-(3A+2B)$
$\Rightarrow$$\begin{cases}
A+B=1 \\
-(3A+2B)=3
\end{cases}
$$\Rightarrow$$\begin{cases}
A=-5 \\
B=6
\end{cases}
$
所以$\dfrac{x+3}{x^2-5x+6}=\dfrac{-5}{x-2}+\dfrac{6}{x-3}$
例2
将$\dfrac{1}{x(x-1)^2}$展开成部分分式之和的形式:
解:根据定理1:$\dfrac{\sum\limits_{n=0}^{k-1}a_nx^n}{(x-p)^k}$可分解为:
$\dfrac{A_1}{(x-p)^k}+\dfrac{A_2}{(x-p)^{k-1}}+\cdots+\dfrac{A_k}{x-p}$
得到:
$\dfrac{1}{x(x-1)^2}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{(x-1)^2}+\dfrac{C}{x-1}$
得到:$1=A(x-1)^2+Bx+Cx(x-1)$,代入特殊值来求系数
取$x=0$,$\Rightarrow$,$A=1$,
取$x=1$,$\Rightarrow$,$B=1$
取$x=2$,代入$A=1,B=1$,$\Rightarrow$,$C=-1$
所以:
$\dfrac{1}{x(x-1)^2}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{(x-1)^2}-\dfrac{1}{x-1}$
例3
将分式$\dfrac{1}{(1+2x)(1+x^2)}$化为部分分式的形式.
解:
$\dfrac{1}{(1+2x)(1+x^2)}=\dfrac{A}{1+2x}+\dfrac{Bx+C}{1+x^2}$
根据分子相等得到:
$1=A(1+x^2)+(Bx+C)(1+2x)$
整理得到:
$1=(2B+A)x^2+(2C+B)x+C+A$
可得:
$
\begin{cases}
2B+A=0 \\
2C+B=0 \\
C+A=1
\end{cases}
$ $\Rightarrow$ $
\begin{cases}
A=\dfrac{4}{5} \\
B=-\dfrac{2}{5} \\
C=\dfrac{1}{5}
\end{cases}
$
所以:
$\dfrac{1}{(1+2x)(1+x^2)}=\dfrac{\dfrac{4}{5}}{1+2x}+\dfrac{-\dfrac{2}{5}x+\dfrac{1}{5}}{1+x^2}$
例4
将$\dfrac{1+2x^2+3x^3+x^4}{(x+1)^2(x^2+x+1)^2}$化为部分分式之和
解
根据定理(自己总结的)：
部分分式的形式主要看公式的分母,将分母写成一个个因式的乘积形式。
- 公式的分母的各个因子各自作为分母
- 若该因子为一次项，则其分子为常数
- 若该因子为平方项，则其分子为一次项
- 各个因子如果有乘方,则要依次降幂,降幂降到一次幂位置。
对于$\dfrac{1+2x^2+3x^3+x^4}{(x+1)^2(x^2+x+1)^2}$这个分式.
观察分母$(x+1)^2(x^2+x+1)^2$,可以看到这个分母是两个因式$(x+1)^2$和$(x^2+x+1)^2$的乘积.
下面分别讨论:
对于因式$(x+1)^2$这个因式，观察x的次数，显然x的次数为1，$x=x^1$.可得该形式的部分分式的分子是一个常数。再观察$(x+1)^2$,显然整个$(x+1)$,的次数是2,这说明要写两个分式,这两个分式的分母按降次排列，也就是一个分母是$(x+1)^2$，一个分母是$x+1$，
综上所述:这两个分式分别为:
$\dfrac{A}{(x+1)^2}+\dfrac{B}{x+1}$
对于$(x^2+x+1)^2$这个因式，$x$的次数为$2$这说明分子的形式为 $Ax+B$
整个因式$(x^2+x+1)$的次数为$2$这说明要展开为两个分式，这两个分式的分母分别为:
二次方的$(x^2+x+1)^2$和一次方的:$x^2+x+1$
综上,这种形式展开为:
$\dfrac{Cx+D}{(x^2+x+1)^2}$和，$\dfrac{Ex+F}{x^2+x+1}$
把这两种形式的展开结果相加，即可得到整个分式的展开形式:
$$
\begin{aligned}
&\dfrac{1+2x^2+3x^3+x^4}{(x+1)^2(x^2+x+1)^2} \\
&=\dfrac{A}{(x+1)^2}+\dfrac{B}{x+1}+\dfrac{Cx+D}{(x^2+x+1)^2}+\dfrac{Ex+F}{x^2+x+1} \\
\end{aligned}
$$
然后在这个分式两边分别乘以$(x+1)^2(x^2+x+1)^2$，消去分母：
$$
\begin{aligned}
&1+2x^2+3x^3+x^4 \\
&=A(x^2+x+1)^2+B(x+1)(x^2+x+1)^2+ \\
&\quad (Cx+D)(x+1)^2+(Ex+F)(x+1)^2(x^2+x+1) \\
\end{aligned}
$$
分别取x=0,$\pm 1$ ,$\pm 2$,3得到A,B,C,D,E,F的方程组，解这个方程组就得到A,B,C,D,E,F的值，然后代入即可。计算过程比较复杂这里省略,主要是为了理解上述过程。
应用
把标准传递函数化为部分分式之和的形式:
$\begin{aligned} G(s)=&\dfrac{C(s)}{R(s)} \\ =&\dfrac{s^2+4s+2}{(s+1)(s+2)} \\ \end{aligned}$
计算过程
解:这个分式分子的次数大于分母的次数，这是一个假分式(假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和).
把分母展开:$(s+1)(s+2)=s^2+3s+2$
接下来要在分子中找到$s^2+3s+2$,把它提取出来:
$s^2+4s+2=(s^2+3s+2)+s$
则原分式
$
G(s)=\dfrac{s^2+4s+2}{(s+1)(s+2)}
=1+\dfrac{s}{(s+1)(s+2)}
$
接下来对这个真分式$\dfrac{s}{(s+1)(s+2)}$展开即可，观察分母中两个因子的形式:
对于分母因子$(s+1)$,该因子没有带乘方,所以只展开为1项，自变量s没有带乘方，所以展开项的分子是一个常数,得到展开形式为:
$\dfrac{A}{s+1}$
同理，对应分子因子$(s+2)$,展开形式为:
$\dfrac{B}{s+2}$
两个展开式相加,就得到了真分式,的展开形式:
$\dfrac{s}{(s+1)(s+2)}=\dfrac{A}{s+1}+\dfrac{B}{s+2}$
则传递函数部分分式的形式为:
$$
\begin{aligned}
G(s)=&\dfrac{s^2+4s+2}{(s+1)(s+2)} \\
=&1+\dfrac{s}{(s+1)(s+2)} \\
=&1+\dfrac{A}{s+1}+\dfrac{B}{s+2} \\
\end{aligned}
$$
接下来求出A,B即可:
上述方程两边同时乘以$(s+1)(s+2)$得到:
$s=A(s+2)+B(s+1)$
整理得：$s=(A+B)s+2A+B$
则有:$\begin{cases}
A+B=1 \\
2A+B=0
\end{cases}$解得:$\begin{cases}
A=-1 \\
B=2
\end{cases}$
所以，传递函数的部分分式形式为:
答案
$\begin{aligned} G(s)=
&\dfrac{s^2+4s+2}{(s+1)(s+2)} \\
=&1+\dfrac{s}{(s+1)(s+2)} \\
=&1+\dfrac{A}{s+1}+\dfrac{B}{s+2} \\
=&1-\dfrac{1}{s+1}+\dfrac{2}{s+2} \\
\end{aligned}
$
原文链接: 如何将有理函数化为部分分式之和
