如何将有理函数化为部分分式之和

有理数

两个多项式的商表示的函数叫有理函数。例如:
$\dfrac{P(x)}{Q(x)}=\dfrac{a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n}{b_0x^m+b_1x^{m-1}+\cdots+b_{m-1}x+b_m}$
其中m、n都是非负整数; $a_0,a_1,…,a_n$ 及 $b_0,b_1,…,b_m$ 都是实数,并且 $a_0≠0,b_0≠0$

真分式假分式

我们总假定分子与分母之间没有公因式.
(1)当n<m时(分子的最高次数n小于分母的最高次数m),上述有理函数叫真分式
(2)当n≥m时(分子的最高次数n大于或等于分母的最高次数m),上述有理函数叫假分式
利用多项式除法,假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和.例如:
$\dfrac{x^3+x+1}{x^2+1}=\dfrac{x(x^2+1)+1}{x^2+1}=x+\dfrac{1}{x^2+1}$

真分式分解定理

任何一个真分式可以化为一些形如
$\dfrac{\sum\limits_{n=0}^{k-1}a_nx^n}{(x-p)^k}$ 和 $\dfrac{\sum\limits_{n=0}^{2k-1}a_nx^n}{(x^2+px+q)^k}$ 的一些真分式的和。

定理1

(1)每个 $\dfrac{\sum\limits_{n=0}^{k-1}a_nx^n}{(x-p)^k}$ 可以分解为:
$\dfrac{A_1}{(x-p)^k}+\dfrac{A_2}{(x-p)^{k-1}}+\cdots+\dfrac{A_k}{x-p}$
其中 $A_1,A_2,\cdots,A_k$ 都是常数.
特别地:当 $k=1$ 时,分解后为 $\dfrac{A}{x-a}$ ;

定理2

(2)对每个分母为 $(x^2+px+q)^k$ 的部分,分解后为:
$\dfrac{M_1x+N_1}{(x^2+px+q)^k}+\dfrac{M_2x+N_2}{(x^2+px+q)^{k-1}}+\cdots+\dfrac{M_kx+N_k}{x^2+px+q}$
其中 $M_i,N_i$ 都是常数 $(i=1,2,…,k)$
特别地,当k=1时,分解后为 $\dfrac{Mx+N}{x^2+px+q}$

真分式化为部分分式之和的待定系数法

例1

$\begin{aligned} \dfrac{x+3}{x^2-5x+6}=&\dfrac{x+3}{(x-3)(x-2)} \\ =&\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{x-3} \\ \end{aligned}$
因为 $x+3=A(x-3)+B(x-2)$
所以 $x+3=(A+B)x-(3A+2B)$
$\Rightarrow$ $\begin{cases} A+B=1 \\ -(3A+2B)=3 \end{cases}$ $\Rightarrow$ $\begin{cases} A=-5 \\ B=6 \end{cases}$
所以 $\dfrac{x+3}{x^2-5x+6}=\dfrac{-5}{x-2}+\dfrac{6}{x-3}$

例2

将 $\dfrac{1}{x(x-1)^2}$ 展开成部分分式之和的形式:
解:根据定理1: $\dfrac{\sum\limits_{n=0}^{k-1}a_nx^n}{(x-p)^k}$ 可分解为:
$\dfrac{A_1}{(x-p)^k}+\dfrac{A_2}{(x-p)^{k-1}}+\cdots+\dfrac{A_k}{x-p}$
得到:
$\dfrac{1}{x(x-1)^2}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{(x-1)^2}+\dfrac{C}{x-1}$
得到: $1=A(x-1)^2+Bx+Cx(x-1)$ ,代入特殊值来求系数
取 $x=0$ , $\Rightarrow$ , $A=1$ ,
取 $x=1$ , $\Rightarrow$ , $B=1$
取 $x=2$ ,代入 $A=1,B=1$ , $\Rightarrow$ , $C=-1$
所以:
$\dfrac{1}{x(x-1)^2}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{(x-1)^2}-\dfrac{1}{x-1}$

例3

将分式 $\dfrac{1}{(1+2x)(1+x^2)}$ 化为部分分式的形式.
解:
$\dfrac{1}{(1+2x)(1+x^2)}=\dfrac{A}{1+2x}+\dfrac{Bx+C}{1+x^2}$
根据分子相等得到:
$1=A(1+x^2)+(Bx+C)(1+2x)$
整理得到:
$1=(2B+A)x^2+(2C+B)x+C+A$
可得:
$\begin{cases} 2B+A=0 \\ 2C+B=0 \\ C+A=1 \end{cases}$ $\Rightarrow$ $\begin{cases} A=\dfrac{4}{5} \\ B=-\dfrac{2}{5} \\ C=\dfrac{1}{5} \end{cases}$
所以:
$\dfrac{1}{(1+2x)(1+x^2)}=\dfrac{\dfrac{4}{5}}{1+2x}+\dfrac{-\dfrac{2}{5}x+\dfrac{1}{5}}{1+x^2}$

例4

将 $\dfrac{1+2x^2+3x^3+x^4}{(x+1)^2(x^2+x+1)^2}$ 化为部分分式之和
解
根据定理(自己总结的)：
部分分式的形式主要看公式的分母,将分母写成一个个因式的乘积形式。

公式的分母的各个因子各自作为分母
若该因子为一次项，则其分子为常数
若该因子为平方项，则其分子为一次项
各个因子如果有乘方,则要依次降幂,降幂降到一次幂位置。

对于 $\dfrac{1+2x^2+3x^3+x^4}{(x+1)^2(x^2+x+1)^2}$ 这个分式.
观察分母 $(x+1)^2(x^2+x+1)^2$ ,可以看到这个分母是两个因式 $(x+1)^2$ 和 $(x^2+x+1)^2$ 的乘积.
下面分别讨论:
对于因式 $(x+1)^2$ 这个因式，观察x的次数，显然x的次数为1， $x=x^1$ .可得该形式的部分分式的分子是一个常数。再观察 $(x+1)^2$ ,显然整个 $(x+1)$ ,的次数是2,这说明要写两个分式,这两个分式的分母按降次排列，也就是一个分母是 $(x+1)^2$ ，一个分母是 $x+1$ ，
综上所述:这两个分式分别为:
$\dfrac{A}{(x+1)^2}+\dfrac{B}{x+1}$
对于 $(x^2+x+1)^2$ 这个因式， $x$ 的次数为 $2$ 这说明分子的形式为 $Ax+B$
整个因式 $(x^2+x+1)$ 的次数为 $2$ 这说明要展开为两个分式，这两个分式的分母分别为:
二次方的 $(x^2+x+1)^2$ 和一次方的: $x^2+x+1$
综上,这种形式展开为:
$\dfrac{Cx+D}{(x^2+x+1)^2}$ 和， $\dfrac{Ex+F}{x^2+x+1}$
把这两种形式的展开结果相加，即可得到整个分式的展开形式:
$\begin{aligned} &\dfrac{1+2x^2+3x^3+x^4}{(x+1)^2(x^2+x+1)^2} \\ &=\dfrac{A}{(x+1)^2}+\dfrac{B}{x+1}+\dfrac{Cx+D}{(x^2+x+1)^2}+\dfrac{Ex+F}{x^2+x+1} \\ \end{aligned}$
然后在这个分式两边分别乘以 $(x+1)^2(x^2+x+1)^2$ ，消去分母：
$\begin{aligned} &1+2x^2+3x^3+x^4 \\ &=A(x^2+x+1)^2+B(x+1)(x^2+x+1)^2+ \\ &\quad (Cx+D)(x+1)^2+(Ex+F)(x+1)^2(x^2+x+1) \\ \end{aligned}$
分别取x=0, $\pm 1$ , $\pm 2$ ,3得到A,B,C,D,E,F的方程组，解这个方程组就得到A,B,C,D,E,F的值，然后代入即可。计算过程比较复杂这里省略,主要是为了理解上述过程。

应用

把标准传递函数化为部分分式之和的形式:
$\begin{aligned} G(s)=&\dfrac{C(s)}{R(s)} \\ =&\dfrac{s^2+4s+2}{(s+1)(s+2)} \\ \end{aligned}$

计算过程

解:这个分式分子的次数大于分母的次数，这是一个假分式(假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和).
把分母展开: $(s+1)(s+2)=s^2+3s+2$
接下来要在分子中找到 $s^2+3s+2$ ,把它提取出来:
$s^2+4s+2=(s^2+3s+2)+s$
则原分式
$G(s)=\dfrac{s^2+4s+2}{(s+1)(s+2)} =1+\dfrac{s}{(s+1)(s+2)}$
接下来对这个真分式 $\dfrac{s}{(s+1)(s+2)}$ 展开即可，观察分母中两个因子的形式:
对于分母因子 $(s+1)$ ,该因子没有带乘方,所以只展开为1项，自变量s没有带乘方，所以展开项的分子是一个常数,得到展开形式为:
$\dfrac{A}{s+1}$
同理，对应分子因子 $(s+2)$ ,展开形式为:
$\dfrac{B}{s+2}$
两个展开式相加,就得到了真分式,的展开形式:
$\dfrac{s}{(s+1)(s+2)}=\dfrac{A}{s+1}+\dfrac{B}{s+2}$
则传递函数部分分式的形式为:
$\begin{aligned} G(s)=&\dfrac{s^2+4s+2}{(s+1)(s+2)} \\ =&1+\dfrac{s}{(s+1)(s+2)} \\ =&1+\dfrac{A}{s+1}+\dfrac{B}{s+2} \\ \end{aligned}$
接下来求出A,B即可:
上述方程两边同时乘以 $(s+1)(s+2)$ 得到:
$s=A(s+2)+B(s+1)$
整理得： $s=(A+B)s+2A+B$
则有: $\begin{cases} A+B=1 \\ 2A+B=0 \end{cases}$ 解得: $\begin{cases} A=-1 \\ B=2 \end{cases}$
所以，传递函数的部分分式形式为:

答案

$\begin{aligned} G(s)= &\dfrac{s^2+4s+2}{(s+1)(s+2)} \\ =&1+\dfrac{s}{(s+1)(s+2)} \\ =&1+\dfrac{A}{s+1}+\dfrac{B}{s+2} \\ =&1-\dfrac{1}{s+1}+\dfrac{2}{s+2} \\ \end{aligned}$

原文链接: 如何将有理函数化为部分分式之和