• 自动控制原理NJUPT MOOC作业题6

 

自动控制原理NJUPT MOOC作业题6

自动控制原理完整版课后习题答案pdf6-2,原题改数据
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第1题

设单位反馈系统的开环传递函数为$G(s)=\dfrac{K}{s(s+1)}$,试设计一串联超前校正装置,使得系统满足如下指标:
(1)相角裕度$\gamma≥45°$
(2)在单位斜坡输入下的稳态误差$e_{ss}=0.5$
(3)截止频率$\omega_e≥7.5rad/s$。
答案:

解

首先确定开环增益$e_{ss}=\dfrac{1}{K}=0.5$,解得$K=\dfrac{1}{0.5}=2$
则开环传递函数为$G(s)=\dfrac{2}{s(s+1)}$
$G(s)=\left\vert \dfrac{2}{j\omega_c(j\omega_c+1)} \right\vert=1$,解得$\omega_c=1$
对应得相角裕度$\gamma’’=90°-arctan\omega_c’=14.71°$不符合要求,进行串联超前校正。
取$\omega_m=\omega_c’’=7.5$,计算$L’(7.5)=20\lg\left\vert G(j7.5) \right\vert=-11.26$
由$10\lg a=-1L’(7.5)=11.56$,得到$a=14$,所以$T=\dfrac{1}{\omega_m\sqrt{a}}=0.036$
所以设计得超前网络传递函数为:$G(s)=\dfrac{0.504s+1}{0.036s+1}$
最终校正系统的开环传递函数为$G_c(s)=$
验算$\gamma’’=90°-\arctan\omega_c’’+\arctan0.504\omega_c’’-\arctan0.036w_c’’=67.7°>45°$
满足性能指标要求,设计合理。

解
根据稳态误差的要求,取开环增益$K=20$
$G(s)=\dfrac{20}{s(s+1)}$
截止频率:$\omega_c’=4.42rad/s$
相角裕度:$\gamma’=180°+\angle G(j\omega_c)=180°-90°-arctg \omega_c=12.8°$
根据截止频率的要求,选择超前校正
$aG(s)=\dfrac{1+aTs}{1+Ts}$,$(a>1)$
选择最大超前角发生在截止频率处,且截止频率选择为:$\omega_c’’=7.5rad/s$
$10\lg a+La(\omega_c’’)=0$ $\Rightarrow$ $10\lg a+20lg\dfrac{20}{\omega_c’’\sqrt{1+(\omega_c’’)^2}}=0$
解得:$a=8.06$
$T=\dfrac{1}{\omega_m\sqrt{a}}=0.0047$
所以:
$aG_s(s)=\dfrac{1+aTs}{1+Ts}=\dfrac{1+0.3786s}{1+0.047s}$
相角裕度较验
$\gamma’’=180°-90°+arctg 0.3786\omega_c’’-arctg 0.047\omega_c’’-arctg \omega_c’’=76.6°$
满足设计要求

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