2-1导数概念

• 引例
  • 变速直线运动的速度
  • 切线问题
    • 切线定义
    • 切线的斜率
  • 规律
• 导数的定义
  • 函数在一点处的导数
    • 不可导
  • 导函数的定义
  • 求导数举例
    • 例1 常数的导数为零
    • 例2 幂函数的导数
      • 常见幂函数的导数
    • 例3 指数函数的导数
    • 例4 对数函数的导数
    • 例5 正弦函数 余弦函数的导数
    • 例7 绝对值函数在x=0不可导
  • 单侧导数
    • 导数存在定理: 左右导数存在且相等
    • 函数在闭区间内可导定义
• 导数的几何意或
  • 切线 切线方程
  • 法线 法线方程
  • 导数为无穷大的切线为x轴
  • 例子 求切线方程 法线方程
  • 函数可导性与连续性的关系
    • 可导必连续
    • 连续不一定可导
• 小结
  • 函数在一点处的导数
  • 导数公式
• 习题
  • 题1
  • 题2 导数的定义变型
  • 题3 求导
  • 题4 求切线斜率
  • 题5

 

• 引例
• 导数的定义
• 导数的几何意义
• 函数可导性与连续性的关系

引例

变速直线运动的速度

切线问题

切线定义

切线的斜率

规律

导数的定义

函数在一点处的导数

不可导

导函数的定义

求导数举例

例1 常数的导数为零

$(C)’=0$

例2 幂函数的导数

$(x^u)’=ux^{u-1}$

常见幂函数的导数

• $x’=1$
• $(x^2)’=2x$
• $(\sqrt{x})’=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
• $(\dfrac{1}{x})’=-\dfrac{1}{x^2}$

例3 指数函数的导数

$(a^x)’=a^x\ln a$,若$a=e$,则$(e^x)’=e^x$

例4 对数函数的导数

$(\log_ax)’=\dfrac{1}{x\cdot\ln a}$,若$a=e^x$,则,$(\ln x)’=\dfrac{1}{x}$

例5 正弦函数 余弦函数的导数

$(\sin x)’=\cos x$
$(\cos x)’=-\sin x$

例7 绝对值函数在x=0不可导

单侧导数

左导数与右导数统称为单侧导数

导数存在定理: 左右导数存在且相等

函数在闭区间内可导定义

导数的几何意或

切线 切线方程

法线 法线方程

导数为无穷大的切线为x轴

例子 求切线方程 法线方程

函数可导性与连续性的关系

可导必连续

连续不一定可导

小结

函数在一点处的导数

导数公式

• $(C)’=0$
• $(x^u)’=ux^{u-1}$
  • $x’=1$
  • $(x^2)’=2x$
  • $(\sqrt{x})’=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
  • $(\dfrac{1}{x})’=-\dfrac{1}{x^2}$
• $(a^x)’=a^x\ln a$,若$a=e$,则$(e^x)’=e^x$
• $(\log_ax)’=\dfrac{1}{x\cdot\ln a}$,若$a=e^x$,则,$(\ln x)’=\dfrac{1}{x}$
• $(\sin x)’=\cos x$
• $(\cos x)’=-\sin x$

习题

题1

这题考导数定义的形式:
$$\begin{align} f’(x_0)=&\lim \limits_{\Delta x \to x_0 }\dfrac{\Delta y}{\Delta x} \nonumber \\ =&\lim \limits_{\Delta x \to x_0 }\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \nonumber \\ =&\lim \limits_{\Delta x \to x_0 }\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \nonumber \\ =&\lim \limits_{x \to x_0 }\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \nonumber \\ \end{align}$$
解:这题神似第三中形式:
$$\begin{aligned} &\lim \limits_{x \to 1 }\dfrac{f^2(x)-1}{x^2-1} \nonumber \\ =&\lim \limits_{x \to 1 }\dfrac{(f(x)-1)(f(x)+1)}{(x-1)(x+1)} \nonumber \\ =&\lim \limits_{x \to 1 }\dfrac{(f(x)-1)}{(x-1)}\dfrac{(f(x)+1)}{(x+1)} \nonumber \\ =&\lim \limits_{x \to 1 }\dfrac{(f(x)-1)}{(x-1)}\lim \limits_{x \to 1 }\dfrac{(f(x)+1)}{(x+1)} \nonumber \\ =&\lim \limits_{x \to 1 }\dfrac{(f(x)-1)}{(x-1)} \dfrac{(1+1)}{(1+1)} \nonumber \\ =&\lim \limits_{x \to 1 }\dfrac{(f(x)-1)}{(x-1)} \nonumber \\ =&f’(1) \nonumber \\ =&2 \nonumber \\ \end{aligned}$$

题2 导数的定义变型

这题考的是导数定义的几种变型：
$$\begin{align} f’(x_0)=&\lim \limits_{\Delta x \to x_0 }\dfrac{\Delta y}{\Delta x} \nonumber \\ =&\lim \limits_{\Delta x \to x_0 }\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \nonumber \\ =&\lim \limits_{\Delta x \to x_0 }\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \nonumber \\ =&\lim \limits_{x \to x_0 }\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \nonumber \\ \end{align}$$
这题跟第一种形式神似，我们要配出第一中形式的样子来就可以了。
$$\begin{aligned} & f’(x_0) \nonumber \\ =&\lim \limits_{\Delta x \to x_0 }\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \nonumber \\ =&\lim \limits_{\Delta x \to x_0 }\dfrac{f(x_0+3\Delta x)-f(x_0)}{3\Delta x} \nonumber \\ =&\dfrac{1}{3} \lim \limits_{\Delta x \to x_0 }\dfrac{f(x_0+3\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \nonumber \\ \end{aligned}$$
所以,$\lim \limits_{\Delta x \to x_0 }\dfrac{f(x_0+3\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=3f’(x_0)$

解:这题考导数定义

题3 求导

解:指数函数导数公式:$(x^u)’=ux^{u-1}$
所以$y’=(\dfrac{1}{x^3})’=(x^{-3})’=-3u^{-3-1}=-3u^{-4}=- \dfrac{3}{u^4}$

题4 求切线斜率

解:
斜率$k=y’=(-2x^2)’=-4x$,所以在点$(1,-2)$处$k=-4\times 1=-4$

题5

这题考导数定义的形式:
$$\begin{align} f’(x_0)=&\lim \limits_{\Delta x \to x_0 }\dfrac{\Delta y}{\Delta x} \nonumber \\ =&\lim \limits_{\Delta x \to x_0 }\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \nonumber \\ =&\lim \limits_{\Delta x \to x_0 }\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \nonumber \\ =&\lim \limits_{x \to x_0 }\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \nonumber \\ \end{align}$$
这里使用第三个导数定义是，把$x_0=0,f(x_0)=f(0)=0$代入得:
$$\begin{aligned} f’(0)=&\lim \limits_{x \to 0 }\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0} \nonumber \\ =&\lim \limits_{x \to 0 }\dfrac{f(x)}{x} \nonumber \\ =&\lim \limits_{x \to 0 }\dfrac{\dfrac{x}{1-e^{\frac{1}{x}}}}{x} \nonumber \\ =&\lim \limits_{x \to 0 }\dfrac{\dfrac{1}{1-e^{\frac{1}{x}}}}{1} \nonumber \\ =&\lim \limits_{x \to 0 }\dfrac{1}{1-e^{\frac{1}{x}}} \nonumber \\ \end{aligned}$$
所以最终得到:$f’(0)=\lim \limits_{x \to 0 }\dfrac{1}{1-e^{\frac{1}{x}}}$,如果这个极限存在则导数存在,
$\lim \limits_{x \to 0^+ }\dfrac{1}{x}=+\infty$
$\lim \limits_{x \to 0^- }\dfrac{1}{x}=-\infty$
$\lim \limits_{x \to 0^+ }\dfrac{1}{1-e^{\frac{1}{x}}}=\dfrac{1}{1-(+\infty)}=0$
$\lim \limits_{x \to 0^- }\dfrac{1}{1-e^{\frac{1}{x}}}=\dfrac{1}{1-0}=1$
左右极限不相等，所以极限不存在，所以在这点的导数不存在。

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