自动控制原理 课本 例3-12 部分分式展开过程
$E(s)=\dfrac{1}{s^2(s+\dfrac{1}{T})}$,观察分母的两个因子$s^2$,$s+\dfrac{1}{T}$.
对于$s^2=(s+0)^2$,括号中s的次数为$1$,所以分子为常数,括号的次数为2,所以可以展开为两个分式的和:
$\dfrac{A}{s^2}+\dfrac{B}{s}$
$s+\dfrac{1}{T}=(s+\dfrac{1}{T})^1$,括号中的变量$s$的次数为$1$,所以分子为常数,括号的次数为1,可以展开为1个分式
$\dfrac{C}{s+\dfrac{1}{T}}$
最终得到展开式为:
$E(s)=\dfrac{1}{s^2(s+\dfrac{1}{T})}=\dfrac{A}{s^2}+\dfrac{B}{s}+\dfrac{C}{s+\dfrac{1}{T}}$
式子两边同时乘以分母$s^2(s+\dfrac{1}{T})$,得到:
$1=A(s+\dfrac{1}{T})+Bs(s+\dfrac{1}{T})+cs^2$
整理得到:
$1=A(s+\dfrac{1}{T})+Bs(s+\dfrac{1}{T})+Cs^2\\
=As+\dfrac{A}{T}+Bs^2+\dfrac{B}{T}s+Cs^2\\
=(B+C)s^2+(A+\dfrac{B}{T})s+\dfrac{A}{T}\\
$
所以$
\begin{cases}
B+C=0 \\
A+\dfrac{B}{T}=0 \\
\dfrac{A}{T}=1
\end{cases}
$,解得:$
\begin{cases}
C=T^2 \\
B=-T^2 \\
A=T
\end{cases}
$
所以:
$$
\begin{aligned}
E(s)=&\dfrac{A}{s^2}+\dfrac{B}{s}+\dfrac{C}{s+\dfrac{1}{T}} \\
=&\dfrac{T}{s^2}-\dfrac{T^2}{s}+\dfrac{T^2}{s+\dfrac{1}{T}} \\
\end{aligned}
$$
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