2-3高阶导数

• 概念
  • 引例
  • 二阶导数
  • n阶导数
  • 高阶导数
  • 例1
• n阶导数的求法
  • 1.直接法:数学归纳法
    • e^x的n阶导数
    • cosx的n阶导数
    • x^u的n阶导数
    • \dfrac{1}{x+a}的n阶导数
  • n阶可导的两个函数的和的n阶导数是各自的n阶导数之和
  • 2.间接法
  • 3.公式法
    • 两个函数的乘积的n导数: 莱布尼茨公式
• n阶导数公式汇总
• 习题
  • 题1
    • 方法1 依次求导
    • 方法2 使用公式
  • 题2
    • 方法1 逐一求导
    • 方法2 使用n阶导数公式
  • 题3
  • 题4
  • 题5

 

概念

引例

二阶导数

n阶导数

高阶导数

例1

n阶导数的求法

• 直接法
• 间接法
• 公式法

  1.直接法:数学归纳法

  e^x的n阶导数

  
  $(e^x)^{(n)}=e^x$

  cosx的n阶导数

  
  
  
  $(\cos x)^{(n)}=\cos(x+\dfrac{n\pi}{2})$
  $(\sin x)^{n}=\sin(x+\dfrac{n\pi}{2})$

  x^u的n阶导数

  
  $(x^u)^{n}=u(u-1)(u-2)\cdots(u-n+1)x^{u-n}$
  $(x^n)^{n}=n!$
  $(x^n)^{n+1}=0$

  \dfrac{1}{x+a}的n阶导数

  
  $\left(\dfrac{1}{x+a}\right)^{(n)}=\dfrac{(-1)^{(n)}n!}{(x+a)^{(n)}}$
  $\left(\ln (x+b)\right)^{(n)}=\left(\dfrac{1}{x+b}\right)^{(n-1)}$
  

  n阶可导的两个函数的和的n阶导数是各自的n阶导数之和

  

  2.间接法

  

  3.公式法

  两个函数的乘积的n导数: 莱布尼茨公式

  
  

  n阶导数公式汇总

• $\left(a^x\right)^{(n)}=a^x\ln^na$
• $(e^x)^{(n)}=e^x$
• $(\cos x)^{(n)}=\cos(x+\dfrac{n\pi}{2})$
• $(\sin x)^{n}=\sin(x+\dfrac{n\pi}{2})$
• $(x^u)^{n}=u(u-1)(u-2)\cdots(u-n+1)x^{u-n}$
  • $(x^n)^{n}=n!$
  • $(x^n)^{n+1}=0$
• $\left(\dfrac{1}{x+a}\right)^{(n)}=\dfrac{(-1)^{(n)}n!}{(x+a)^{(n)}}$
• $\left(\ln (x+b)\right)^{(n)}=\left(\dfrac{1}{x+b}\right)^{(n-1)}$
  $$\begin{aligned} &\left[(a+bx)^u\right]^{(n)} \nonumber \\ =&u(u-1)(u-2)\cdots(u-n+1)b^n(a+bx)^{u-n} \nonumber \\ \end{aligned}$$
  $u=n$时:
  $$\begin{aligned} &\left[(a+bx)^n\right]^{(n)} \nonumber \\ =&n(n-1)(n-2)\cdots(n-n+1)b^n(a+bx)^{n-n} \nonumber \\ =&n!b^n \nonumber \\ \end{aligned}$$

  习题

  题1

  
  基本初等函数导数公式
  解:

  方法1 依次求导

  $y’=3\times 2x-2(-\sin x)+\dfrac{1}{x\ln a} =6x+2\sin x+\dfrac{1}{x\ln a}$
  所以:
  $y’’=6+2(\cos x)+(\dfrac{1}{x\ln a})’$
  $$\begin{aligned} (\dfrac{1}{x\ln a})’ =& \dfrac{1’\times x\ln a- (x\ln a)’\times 1}{(x\ln a)^2 } \nonumber \\ =& \dfrac{0\times x\ln a- \ln a}{(x\ln a)^2 } \nonumber \\ =& \dfrac{- \ln a}{(x\ln a)^2 } \nonumber \\ =&-\dfrac{1}{x^2\ln a } \nonumber \\ \end{aligned}$$
  所以:
  $y’’=6+2(\cos x)-\dfrac{1}{x^2\ln a }$

  方法2 使用公式

  由n阶导数公式:
  $(x^u)^{n}=u(u-1)(u-2)\cdots(u-n+1)x^{u-n}$,
  $(x^n)^{n}=n!$得:
  $(3x^2)’’=3\times 2!=3\times 2\times 1=6$
  由$(\cos x)^{(n)}=\cos(x+\dfrac{n\pi}{2})$
  三角函数$\sin x$,$\cos x$加上一个数后的符号:奇变偶不变，符号看象限.象限记不得的话可以画图像确定。

得到:
$$\begin{aligned} \left(-2\cos x\right)^{(2)} =&-2\times \cos(x+\dfrac{2\pi}{2}) \nonumber \\ =&-2\times \cos(x+\pi) \nonumber \\ =&-2\times -\cos(x) \nonumber \\ =&2\cos x \nonumber \\ \end{aligned}$$
最后一个而函数我还不知道有什么公式，所以还是按方法1计算。

题2

方法1 逐一求导

$f(x)=(ax+b)^3$
$f’(x)=3(ax+b)^2a$
$f’’(x)=3\times2(ax+b)a\times a$
$f’’’(x)=3\times2a\times a\times a=6a^3$
所以:
$f’’’(2)=6a^3$

方法2 使用n阶导数公式

$\left[(a+bx)^u\right]^{(n)}=u(u-1)(u-2)\cdots(u-n+1)b^n(a+bx)^{u-n}$
$a^0=1$
所以$\left((ax+b)^3\right)^{(3)}=3\times 2\times 1\times a^3(a+bx)^{3-3}=6a^3$

题3

遇到复杂的题及时放弃

题4

$(x^n)^{n}=n!$
所以$y^{(n)}=2n!$

题5

$$\begin{aligned} y’=&f’(e^{2x})(e^{2x})’ \nonumber \\ =&f’(e^{2x})2e^{2x} \nonumber \\ =&2e^{2x}f’(e^{2x}) \nonumber \\ \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} y’’=&2(e^{2x})’f’(e^{2x})+2e^{2x}f’’(e^{2x})(e^{2x})’ \nonumber \\ =&2e^{2x}2f’(e^{2x})+2e^{2x}f’’(e^{2x})(e^{2x})2 \nonumber \\ =&4e^{2x}f’(e^{2x})+4e^{2x}e^{2x}f’’(e^{2x}) \nonumber \\ =&4e^{2x}f’(e^{2x})+4e^{2x+2x}f’’(e^{2x}) \nonumber \\ =&4e^{2x}f’(e^{2x})+4e^{4x}f’’(e^{2x}) \nonumber \\ \end{aligned}$$

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