自动控制原理课后习题 3-15

题目

3.15已知单位反馈系统的开环传递函数分别为:
(1) $G(s)=\dfrac{100}{(0.1s+1)(s+5)}$
(2) $G(s)=\dfrac{50}{s(0.1s+1)(s+5)}$
(3) $G(s)=\dfrac{10(2s+1)}{s^2(s^2+6s+100)}$
试求输入分别为 $r(1)=2t$ 和 $r(t)=2+2t+t^2$ 时,系统的稳态误差。

知识点

知识点窍:稳态误差、静态误差系统法、终值定理
逻辑推理:根据线性叠加原理,用静态误差系数法或终值定理来求系统的稳态误差。

解题过程

开环传递函数时间常数形式
$\begin{aligned} G(s)H(s)=&\dfrac{K(1+\tau_1s)(1+\tau_2s)\cdots(1+\tau_ms)}{s^v(1+T_1s)(1+T_2s)\cdots(1+T_{n-v}s)} \\ =&\dfrac{K\prod\limits_{j=1}^{m}(\tau_js+1)}{s^v\prod\limits_{i=1}^{n-v}(T_is+1)} \\ \end{aligned}$
当 $v=0$ 时,称该系统为0型系统
当 $v=1$ 时,称该系统为1型系统
当 $v=2$ 时,称该系统为2型系统

(1)

$G(s)=\dfrac{100}{(0.1s+1)(s+5)}=\dfrac{20}{(0.1s+1)(0.2s+1)}$
该形式已经是时间常数形式了
由上式可知,该系统是0型系统,且 $K=20$ 。
查表可得,0型系统在 $1(t),t,\dfrac{1}{2}t^2$ 信号作用下的稳态误差分别为:
$\dfrac{1}{1+K},\infty,\infty$
根据线性叠加原理，该系统带输入为 $r(t)=2t$ 时的稳态误差为
$e_{ss1}=2\times\infty=\infty$
该系统在输入
$\begin{aligned} r(t)=&2+2t+t^2 \\ =&2+2t+2\times\dfrac{1}{2}t^2 \\ \end{aligned}$
时的稳态误差为:
$\begin{aligned} e_{ss2}=&2\times \dfrac{1}{1+K}+2\times\infty+2\times\infty \\ =&\dfrac{2}{1+K}+\infty+\infty \\ =&\infty \\ \end{aligned}$

(2)

首先要化为时间常数形式:

$\begin{aligned} G(s)H(s)=&\dfrac{K(1+\tau_1s)(1+\tau_2s)\cdots(1+\tau_ms)}{s^v(1+T_1s)(1+T_2s)\cdots(1+T_{n-v}s)} \\ =&\dfrac{K\prod\limits_{j=1}^{m}(\tau_js+1)}{s^v\prod\limits_{i=1}^{n-v}(T_is+1)} \\ \end{aligned}$
注意:分子分母的常数项都是1

$\begin{aligned} G(s)=&\dfrac{50}{s(0.1s+1)(s+5)} \\ =&\dfrac{10}{s(0.1s+1)(0.2s+1)} \\ \end{aligned}$
$s^v=s^1$ , $v=1$ ,所以该系统为 $1$ 型系统
开环增益 $K=10$ ，
查表可得，1型系统在输入信号 $1(t),t,\dfrac{1}{2}t^2$ 的作用下的稳态误差分别为:
$0,\dfrac{1}{K},\infty$
根据线性叠加原理，该系统带输入为 $r(t)=2t$ 时的稳态误差为:
$e_{ss1}=2\times\dfrac{1}{K}=\dfrac{2}{K}=\dfrac{2}{10}=0.2$
该系统在输入 $r(t)=2+2t+2\times\dfrac{1}{2}t^2$ 是的稳态误差为：
$\begin{aligned} e_{ss2}=&2\times 0+\dfrac{2}{K}+2\times \infty \\ =&\infty \\ \end{aligned}$

(3)

$G(s)=\dfrac{10(2s+1)}{s^2(s^2+6s+100)}$
只有稳定的系统才有稳态误差,所以首先需要判定此系统的稳定性对于单位负反馈系统有 $H(s)=1$ ,所以系统的
所以闭环传递函数:
$\begin{aligned} \varPhi(s)=&\dfrac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \\ =&\dfrac{G(s)}{1+G(s)\times1} \\ =&\dfrac{\dfrac{10(2s+1)}{s^2(s^2+6s+100)}}{1+\dfrac{10(2s+1)}{s^2(s^2+6s+100)}} \\ =&\dfrac{10(2s+1)}{s^2(s^2+6s+100)+10(2s+1)} \\ \end{aligned}$
令闭环传递函数分母为0即可得到闭环特征方程(其实开环传递函数分母加上分子):

闭环特征方程为:
$\begin{aligned} D(s)=&\dfrac{10(2s+1)}{s^2(s^2+6s+100)+10(2s+1)} \\ =&s^4+6s^3+100s^2+20s+10 \\ =&0 \\ \end{aligned}$
用劳思稳定判据来确定此系统的稳定性,列劳思表如下


$s^4$	$1$	$100$	$10$
$s^3$	$6$	$20$
$s^2$	$6\times\dfrac{6\times100-1\times20}{6}=6\times\dfrac{580}{6}=580$	$6\times\dfrac{6\times10-1\times0}{6}=60$
$s^1$	$580\times\dfrac{580\times20-6\times60}{580}=11240$
$s^0$	$\dfrac{11240\times60-580\times0}{11240}=60$

劳斯表第一列全部为正数,所以系统稳定
用终值定理来求系统的稳态误差,公式如下:
$\begin{aligned} e_{ss3}=&\lim\limits_{s\to 0}sE(s) \\ =&\lim\limits_{s\to }s\dfrac{1}{1+G(s)H(s)}R(s) \\ \end{aligned}$
代入闭环传递函数
$G(s)=\dfrac{10(2s+1)}{s^2(s^2+6s+100)}$ ,反馈通路传递函数 $H(s)=1$
得到:
$\begin{aligned} e_{ss3}=&\lim\limits_{s\to 0}s\dfrac{1}{1+\dfrac{10(2s+1)}{s^2(s^2+6s+100)}}R(s) \\ =&\lim\limits_{s\to 0}s\dfrac{s^2(s^2+6s+100)}{s^2(s^2+6s+100)+10(2s+1)}R(s) \\ \end{aligned}$
当 $r(t)=2t$ 时， $R(s)=\dfrac{2}{s^2}$ ,代入稳态误差表达式,求极限就可以得到稳态误差:
$\begin{aligned} e_{ss3}=&\lim\limits_{s\to 0}s\times\dfrac{1}{1+\dfrac{10(2s+1)}{s^2(s^2+6s+100)}}\times R(s) \\ =&\lim\limits_{s\to 0}s\times\dfrac{s^2(s^2+6s+100)}{s^2(s^2+6s+100)+10(2s+1)}\times\dfrac{2}{s^2} \\ =&\lim\limits_{s\to 0}s\times\dfrac{2(s^2+6s+100)}{s^2(s^2+6s+100)+10(2s+1)} \\ =&0 \\ \end{aligned}$
当 $r(t)=2+2t+2\times\dfrac{1}{2}t^2$ ,
$\begin{aligned} R(s)=&\dfrac{2}{s}+\dfrac{2}{s^2}+\dfrac{2}{s^3} \\ =&\dfrac{2s^2+2s+2}{s^3} \\ \end{aligned}$
代入稳态误差表达式得到：
$\begin{aligned} &e_{ss3} \\ &=\lim\limits_{s\to 0}s\dfrac{s^2(s^2+6s+100)}{s^2(s^2+6s+100)+10(2s+1)}R(s) \\ &=\lim\limits_{s\to 0}s\dfrac{s^2(s^2+6s+100)}{s^2(s^2+6s+100)+10(2s+1)}\dfrac{2s^2+2s+2}{s^3} \\ &=\lim\limits_{s\to 0}\dfrac{s^2(s^2+6s+100)}{s^2(s^2+6s+100)+20s+10)}\dfrac{2s^2+2s+2}{s^2} \\ &=\lim\limits_{s\to 0}\dfrac{(s^2+6s+100)(2s^2+2s+2)}{s^2(s^2+6s+100)+20s+10)} \\ &=\dfrac{100\times2}{10} \\ &=20 \\ \end{aligned}$

原文链接: 自动控制原理课后习题 3-15