题目
3.15已知单位反馈系统的开环传递函数分别为:
(1)$G(s)=\dfrac{100}{(0.1s+1)(s+5)}$
(2)$G(s)=\dfrac{50}{s(0.1s+1)(s+5)}$
(3)$G(s)=\dfrac{10(2s+1)}{s^2(s^2+6s+100)}$
试求输入分别为$r(1)=2t$和$r(t)=2+2t+t^2$时,系统的稳态误差。
知识点
知识点窍:稳态误差、静态误差系统法、终值定理
逻辑推理:根据线性叠加原理,用静态误差系数法或终值定理来求系统的稳态误差。
解题过程
开环传递函数时间常数形式
$\begin{aligned} G(s)H(s)=&\dfrac{K(1+\tau_1s)(1+\tau_2s)\cdots(1+\tau_ms)}{s^v(1+T_1s)(1+T_2s)\cdots(1+T_{n-v}s)} \\ =&\dfrac{K\prod\limits_{j=1}^{m}(\tau_js+1)}{s^v\prod\limits_{i=1}^{n-v}(T_is+1)} \\ \end{aligned}$
当$v=0$时,称该系统为0型系统
当$v=1$时,称该系统为1型系统
当$v=2$时,称该系统为2型系统
(1)
$G(s)=\dfrac{100}{(0.1s+1)(s+5)}=\dfrac{20}{(0.1s+1)(0.2s+1)}$
该形式已经是时间常数形式了
由上式可知,该系统是0型系统,且$K=20$。
查表可得,0型系统在$1(t),t,\dfrac{1}{2}t^2$信号作用下的稳态误差分别为:
$\dfrac{1}{1+K},\infty,\infty$
根据线性叠加原理，该系统带输入为$r(t)=2t$时的稳态误差为
$e_{ss1}=2\times\infty=\infty$
该系统在输入
$$
\begin{aligned}
r(t)=&2+2t+t^2 \\
=&2+2t+2\times\dfrac{1}{2}t^2 \\
\end{aligned}
$$
时的稳态误差为:
$$
\begin{aligned}
e_{ss2}=&2\times \dfrac{1}{1+K}+2\times\infty+2\times\infty \\
=&\dfrac{2}{1+K}+\infty+\infty \\
=&\infty \\
\end{aligned}
$$
(2)
首先要化为时间常数形式:
$\begin{aligned} G(s)H(s)=&\dfrac{K(1+\tau_1s)(1+\tau_2s)\cdots(1+\tau_ms)}{s^v(1+T_1s)(1+T_2s)\cdots(1+T_{n-v}s)} \\ =&\dfrac{K\prod\limits_{j=1}^{m}(\tau_js+1)}{s^v\prod\limits_{i=1}^{n-v}(T_is+1)} \\ \end{aligned}$
注意:分子分母的常数项都是1
$
\begin{aligned}
G(s)=&\dfrac{50}{s(0.1s+1)(s+5)} \\
=&\dfrac{10}{s(0.1s+1)(0.2s+1)} \\
\end{aligned}
$
$s^v=s^1$,$v=1$,所以该系统为$1$型系统
开环增益$K=10$，
查表可得，1型系统在输入信号$1(t),t,\dfrac{1}{2}t^2$的作用下的稳态误差分别为:
$0,\dfrac{1}{K},\infty$
根据线性叠加原理，该系统带输入为$r(t)=2t$时的稳态误差为:
$e_{ss1}=2\times\dfrac{1}{K}=\dfrac{2}{K}=\dfrac{2}{10}=0.2$
该系统在输入$r(t)=2+2t+2\times\dfrac{1}{2}t^2$是的稳态误差为：
$$
\begin{aligned}
e_{ss2}=&2\times 0+\dfrac{2}{K}+2\times \infty \\
=&\infty \\
\end{aligned}
$$
(3)
$G(s)=\dfrac{10(2s+1)}{s^2(s^2+6s+100)}$
只有稳定的系统才有稳态误差,所以首先需要判定此系统的稳定性对于单位负反馈系统有$H(s)=1$,所以系统的
所以闭环传递函数:
$$
\begin{aligned}
\varPhi(s)=&\dfrac{G(s)}{1+G(s)H(s)} \\
=&\dfrac{G(s)}{1+G(s)\times1} \\
=&\dfrac{\dfrac{10(2s+1)}{s^2(s^2+6s+100)}}{1+\dfrac{10(2s+1)}{s^2(s^2+6s+100)}} \\
=&\dfrac{10(2s+1)}{s^2(s^2+6s+100)+10(2s+1)} \\
\end{aligned}
$$
令闭环传递函数分母为0即可得到闭环特征方程(其实开环传递函数分母加上分子):
闭环特征方程为:
$$
\begin{aligned}
D(s)=&\dfrac{10(2s+1)}{s^2(s^2+6s+100)+10(2s+1)} \\
=&s^4+6s^3+100s^2+20s+10 \\
=&0 \\
\end{aligned}
$$
用劳思稳定判据来确定此系统的稳定性,列劳思表如下
| $s^4$ | $1$ | $100$ | $10$ |
| $s^3$ | $6$ | $20$ | |
| $s^2$ | $6\times\dfrac{6\times100-1\times20}{6}=6\times\dfrac{580}{6}=580$ | $6\times\dfrac{6\times10-1\times0}{6}=60$ | |
| $s^1$ | $580\times\dfrac{580\times20-6\times60}{580}=11240$ | ||
| $s^0$ | $\dfrac{11240\times60-580\times0}{11240}=60$ |
劳斯表第一列全部为正数,所以系统稳定
用终值定理来求系统的稳态误差,公式如下:
$$
\begin{aligned}
e_{ss3}=&\lim\limits_{s\to 0}sE(s) \\
=&\lim\limits_{s\to }s\dfrac{1}{1+G(s)H(s)}R(s) \\
\end{aligned}
$$
代入闭环传递函数
$G(s)=\dfrac{10(2s+1)}{s^2(s^2+6s+100)}$,反馈通路传递函数$H(s)=1$
得到:
$$
\begin{aligned}
e_{ss3}=&\lim\limits_{s\to 0}s\dfrac{1}{1+\dfrac{10(2s+1)}{s^2(s^2+6s+100)}}R(s) \\
=&\lim\limits_{s\to 0}s\dfrac{s^2(s^2+6s+100)}{s^2(s^2+6s+100)+10(2s+1)}R(s) \\
\end{aligned}
$$
当$r(t)=2t$时，$R(s)=\dfrac{2}{s^2}$,代入稳态误差表达式,求极限就可以得到稳态误差:
$$
\begin{aligned}
e_{ss3}=&\lim\limits_{s\to 0}s\times\dfrac{1}{1+\dfrac{10(2s+1)}{s^2(s^2+6s+100)}}\times R(s) \\
=&\lim\limits_{s\to 0}s\times\dfrac{s^2(s^2+6s+100)}{s^2(s^2+6s+100)+10(2s+1)}\times\dfrac{2}{s^2} \\
=&\lim\limits_{s\to 0}s\times\dfrac{2(s^2+6s+100)}{s^2(s^2+6s+100)+10(2s+1)} \\
=&0 \\
\end{aligned}
$$
当$r(t)=2+2t+2\times\dfrac{1}{2}t^2$,
$$
\begin{aligned}
R(s)=&\dfrac{2}{s}+\dfrac{2}{s^2}+\dfrac{2}{s^3} \\
=&\dfrac{2s^2+2s+2}{s^3} \\
\end{aligned}
$$
代入稳态误差表达式得到：
$$
\begin{aligned}
&e_{ss3} \\
&=\lim\limits_{s\to 0}s\dfrac{s^2(s^2+6s+100)}{s^2(s^2+6s+100)+10(2s+1)}R(s) \\
&=\lim\limits_{s\to 0}s\dfrac{s^2(s^2+6s+100)}{s^2(s^2+6s+100)+10(2s+1)}\dfrac{2s^2+2s+2}{s^3} \\
&=\lim\limits_{s\to 0}\dfrac{s^2(s^2+6s+100)}{s^2(s^2+6s+100)+20s+10)}\dfrac{2s^2+2s+2}{s^2} \\
&=\lim\limits_{s\to 0}\dfrac{(s^2+6s+100)(2s^2+2s+2)}{s^2(s^2+6s+100)+20s+10)} \\
&=\dfrac{100\times2}{10} \\
&=20 \\
\end{aligned}
$$
原文链接: 自动控制原理 课后习题 3-15
