第1章
全概率公式贝叶斯公式
贝叶斯公式的应用
例4.1
例4.1:设一个互联网服务器有$3$个调制解调器。每个与服务器连接的用户需要一个调制解调器。设用户个数服从参数为$2$的泊松分布
(1)计算调制解调器不够用的概率;
(2)如果要使得调制解调器够用的概率达到$98\%$以上,问至少需要多少个调制解调器?
解
调整解调器只有三个,连接三个用户.
$P{X=k}=\dfrac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!},k=0,1,2,…$
用$X$表示用户个数,则$X~P(2)$
(1)求调制解调不够用的概率
令,$p_i=P(X=i),F(i)=P(X\le i)$
当用户数小于等于3的时候调制解调器刚好够用.即
$$
\begin{aligned}
F(3)=&P(X\le 3) \\
=&p_0+p_1+p_2+p_3 \\
=&e^{-2}(\dfrac{2^{0}}{0!}+\dfrac{2^{1}}{1!}+\dfrac{2^{2}}{2!}+\dfrac{2^{3}}{3!}) \\
=& e^{-2}(1+2+2+\dfrac{4}{3}) \\
=&0.8571 \\
\end{aligned}
$$
所求概率为$P(X>3)=1-P(X\le 3)=1-F(3)=1-0.8571=0.1429$
(2)如果要使得调制解调器够用的概率达到$98\%$以上,问至少需要多少个调制解调器?
$F(3)<0.98，p_4=e^{-2}\dfrac{2^4}{4!}=0.0902$
$F(4)=F(3)+p_4=0.9473<0.98$
$p_5=e^{-2}\dfrac{2^5}{5!}=0.0361$
$F(5)=F(4)+p_5=0.9834>0.98$
所以至少需要$5$个调制解调器
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