自动控制原理 作业题 3-6

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题目

3-6已知控制系统的单位阶跃响应为:
$$c(t)=1+0.2e^{-60t}-1.2e^{-10t}$$
试确定系统的阻尼比$\zeta$和自然频率$\omega_n$

知识点

知识点窍:单位阶跃响应、单位脉冲响应、闭环传递函数
逻辑推理:单位脉冲响应可由单位阶跃响应求导得来;对单位脉冲响应作拉氏变换得到系统的闭环传递函数,进一步得到系统的阻尼比$\zeta$和自然频率$\omega_n$

解题过程

对单位阶跃响应求导可得到单位脉冲响应:
$$\begin{aligned} k(t)=&c’(t) \\ =&0.2\times (-60)e^{-60t}-1.2(-10) \\ =&-12e^{-60t}+12e^{-10t} \\ =&12(e^{-10t}-e^{-60t}) \\ \end{aligned}$$
对单位脉冲响应作拉氏变换得到系统的闭环传递函数:
$$\begin{aligned} \varPhi=&L[k(r)] \\ =&12L(e^{-10t}-e^{-60t}) \\ =&12(\dfrac{1}{s+10}-\dfrac{1}{s+60}) \\ =&12\dfrac{s+60-(s+10)}{(s+10)(s+60)} \\ =&12\dfrac{50}{(s+10)(s+60)} \\ =&\dfrac{600}{s^2+70s+600} \\ \end{aligned}$$
所以得到自然频率:$\omega_n=\sqrt{600}=24.5$
阻尼比$\zeta=\dfrac{70}{2\times\omega_n}=\dfrac{70}{2\times\sqrt{600}}=1.429$

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