题目
3-6已知控制系统的单位阶跃响应为:
$$
c(t)=1+0.2e^{-60t}-1.2e^{-10t}
$$
试确定系统的阻尼比$\zeta$和自然频率$\omega_n$
知识点
知识点窍:单位阶跃响应、单位脉冲响应、闭环传递函数
逻辑推理:单位脉冲响应可由单位阶跃响应求导得来;对单位脉冲响应作拉氏变换得到系统的闭环传递函数,进一步得到系统的阻尼比$\zeta$和自然频率$\omega_n$
解题过程
对单位阶跃响应求导可得到单位脉冲响应:
$$
\begin{aligned}
k(t)=&c’(t) \\
=&0.2\times (-60)e^{-60t}-1.2(-10) \\
=&-12e^{-60t}+12e^{-10t} \\
=&12(e^{-10t}-e^{-60t}) \\
\end{aligned}
$$
对单位脉冲响应作拉氏变换得到系统的闭环传递函数:
$$
\begin{aligned}
\varPhi=&L[k(r)] \\
=&12L(e^{-10t}-e^{-60t}) \\
=&12(\dfrac{1}{s+10}-\dfrac{1}{s+60}) \\
=&12\dfrac{s+60-(s+10)}{(s+10)(s+60)} \\
=&12\dfrac{50}{(s+10)(s+60)} \\
=&\dfrac{600}{s^2+70s+600} \\
\end{aligned}
$$
所以得到自然频率:$\omega_n=\sqrt{600}=24.5$
阻尼比$\zeta=\dfrac{70}{2\times\omega_n}=\dfrac{70}{2\times\sqrt{600}}=1.429$
原文链接: 自动控制原理 作业题 3-6
