函数解析式的七种求法

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函数解析式的七种求法

求函数解析式的一般方法有
待定系数法在已知函解析式的构造时,可用待定系数法。

待定系数法

例题1

设$f(x)$是一次函数，而且$f[f(x)]=4x+3$，求$f(x)$?
解
设$f(x)=ax+b (a\not=0)$,则$f(f(x))=af(x)+b=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b$。
所以
$$
\begin{cases}
a^2=4 \Rightarrow a=\pm 2\\
ab+b=3
\end{cases}
$$
所以得到，
$$
\begin{cases}
a=2 \\
b=1
\end{cases}
$$
或者
$$
\begin{cases}
a=-2 \\
b=-3
\end{cases}
$$
所以$f(x)=2x+1$或者$f(x)=-2x-3$

例题2

已知$f(x)$是一次函数,且$f[f(x)]=4x-1$求$f(x)$的解析式
解
设$f(x)=ax-b$,则$f[f(x)]=a[f(x)]-b=a[ax-b]-b=a^2x-ab-b=4x-1$,可以得到：
$
\begin{cases}
a^2=4 \Rightarrow x=\pm 2 \\
-ab-b=-1
\end{cases}
$ 解得 $
\begin{cases}a=2 \\
b=\dfrac{1}{3}
\end{cases}
$ 或者 $
\begin{cases}
a=-2 \\
b=-1
\end{cases}$

配凑法

已知复合函数$f[g(x)]$的表达式,求$f(x)$的解析式,$f[g(x)]$的表达式容易配成$g(x)$的运算形式时,常用配凑法。但要注意所求函数$f(x)$的定义域不是原复合函数的定义域,而是$g(x)$的值域。

例题1

已知$f(x+\dfrac{1}{x})=x^2+\dfrac{1}{x^2}(x>0)$,求f(x)的解析式
解
因为$f(x+\dfrac{1}{x})=(x-\dfrac{1}{x})^2-2,x+\dfrac{1}{x}\le 2$,所以，$f(x)=x^2-x (x\ge 2)$

Latex语法

另一种分段函数的写法

之前我一直认为分段函数好像只能写在行间，而不能写在行中。结果我错了，是可以写在行间的。只要美元符号紧靠同一行中的中的其他文本，那么这个公式就在行中显示。这样的好处就是紧凑一点，容易阅读。

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显示效果：$ f(x)=\left\{
\begin{aligned}
x & = & \cos(t) \\
y & = & \sin(t) \\
z & = & \frac xy
\end{aligned}
\right.
$，$\begin{cases} a=-2 \\ b=-1 \end{cases}$

显示效果：$ f(x)=\left\{
\begin{aligned}
x & = & \cos(t) \\
y & = & \sin(t) \\
z & = & \frac xy
\end{aligned}
\right.
$，$\begin{cases} a=-2 \\ b=-1 \end{cases}$

参考链接

LaTeX编写分段函数
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