自动控制原理作业题 2-11

2-11

2-11在图2-51中,已知 $G(s)$ 和 $H(s)$ 两方框相对应的微分方程分别是:
$6\dfrac{dc(t)}{dt}+10c(t)=20e(t)$ , $20\dfrac{db(t)}{dt}+5b(t)=10c(t)$
且初始条件均为零，试求传递函数 $C(s)/R(s)$ 及 $E(s)/R(s)$ .

知识点窍:传递函数、拉氏变换
逻辑推理:由系统的微分方程通过拉氏变换得出系统的传递函数。
$L[\dfrac{d}{dt}f(t)]=sF(s)-f(0)$

解题过程:对题目所给微分方程两边同时作拉氏变换,
$\begin{cases} 6[sC(s)-c(0)]+10C(s)=20E(s) \\ 20[sB(s)-b(0)]+5B(s)=10C(s) \end{cases}$
由于已知初始条件均为0,所以有: $\begin{cases} c(0)=0 \\ b(0)=0 \end{cases}$ ,代入上面的式子得到:
$\begin{cases} 6sC(s)+10C(s)=20E(s) \\ 20sB(s)+5B(s)=10C(s) \end{cases}$
从图可以看出:
$\begin{cases} G(s)=\dfrac{C(s)}{E(s)}\\ H(s)=\dfrac{B(s)}{C(s)} \end{cases}$
解方程得到:
$\begin{cases} G(s)=\dfrac{C(s)}{E(s)}=\dfrac{20}{6s+10}=\dfrac{10}{3s+5}\\ H(s)=\dfrac{B(s)}{C(s)}=\dfrac{10}{20s+5}=\dfrac{2}{4s+1} \end{cases}$
等效框图如下:

又由图可看出: $R(s)\times 10\times \dfrac{G(s)}{1+G(s)H(s)}=C(s)$
所以 $\dfrac{C(s)}{R(s)}=\dfrac{10G(s)}{1+G(s)H(s)}$ ,
代入 $\begin{cases} G(s)=\dfrac{C(s)}{E(s)}=\dfrac{10}{3s+5}\\ H(s)=\dfrac{B(s)}{C(s)}=\dfrac{2}{4s+1} \end{cases}$
可得到:
$\begin{aligned} \dfrac{C(s)}{R(s)}=&\dfrac{10G(s)}{1+G(s)H(s)} \\ =&\dfrac{10\times\dfrac{10}{3s+5}}{1+\dfrac{10}{3s+5}\dfrac{2}{4s+1}} \\ =&\dfrac{10\times10(4s+1)}{(3s+5)(4s+1)+10\times2} \\ =&\dfrac{100(4s+1)}{(3s+5)(4s+1)+10\times2} \\ =&\dfrac{100(4s+1)}{12s^2+23s+5+20} \\ =&\dfrac{100(4s+1)}{12s^2+23s+25} \\ \end{aligned}$

由图可知 $E(s)=M(s)-B(s)=10R(s)-C(s)H(s)=[10-\dfrac{C(s)}{R(s)}H(s)]R(s)$ ,
所以 $\dfrac{E(s)}{R(s)}=10-\dfrac{C(s)}{R(s)}H(s)=10-\dfrac{100(4s+1)}{12s^2+23s+25}\dfrac{2}{4s+1}$
整理得到:
$\begin{aligned} \dfrac{E(s)}{R(s)}=&10-\dfrac{100(4s+1)}{12s^2+23s+25}\dfrac{2}{4s+1} \\ =&10-\dfrac{100\times2}{12s^2+23s+25} \\ =&10-\dfrac{200}{12s^2+23s+25} \\ =&\dfrac{10(12s^2+23s+25)-200}{12s^2+23s+25} \\ =&\dfrac{10(12s^2+23s+5)}{12s^2+23s+25} \\ \end{aligned}$

答案

$\begin{cases} \dfrac{C(s)}{R(s)}=\dfrac{100(4s+1)}{12s^2+23s+25} \\ \dfrac{E(s)}{R(s)}=\dfrac{10(12s^2+23s+5)}{12s^2+23s+25} \end{cases}$

原文链接: 自动控制原理作业题 2-11