- 微分的定义
- 微分的几何意义
- 基本初等函数的微分公式与微分运算法则
微分的定义
引例
定义
可导等价于可微分
dy=f′(x0)Δx,dx=Δx
例题 求增量对应的微分
微分的几何意义
在点M1的附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段。
基本初等函数的微分公式与微分运算法则
由dy=f′(x)dx求函数的微分dy:求出导数f′(x),再乘dx
基本初等函数的微分公式
函数和差积商的微分运算法
复合函数的微分法则
习题
题1-1
解:这题考微分的定义式:
dy=f′(x0)Δx,dx=Δx
所以:
y′=2x
dy=y′|x=1Δx=2×1×0.01=0.02
题1-2
dy=y′dx=ycosx+sin(x−y)sin(x−y)−sinxdx
解:
方程两本同时对x求导得:
y′sinx+ycosx−(−sin(x−y)×(1−y′))=0y′sinx+ycosx+(sin(x−y)×(1−y′))=0y′sinx+ycosx+sin(x−y)−y′sin(x−y)=0y′(sinx−sin(x−y))+ycosx+sin(x−y)=0
得到:
y′=−(ycosx+sin(x−y))(sinx−sin(x−y))y′=ycosx+sin(x−y)sin(x−y)−sinx
所以dy=y′dx=ycosx+sin(x−y)sin(x−y)−sinxdx
题1-3
dy|x=1=y′|x=1dx=(1−e)dx
导数公式:(√x)′=12√x
y′|x=1=(212√x−ex)|x=1=1√1−e1=1−e
所以:
dy|x=1=y′|x=1dx=(1−e)dx
题1-4
dy=y′dx=(−1x2+1√x)dx
导数公式:
(√x)′=12√x
(1x)′=−1x2
所以:
y′=1x+2√x=−1x2+1√x
所以
dy=y′dx=(−1x2+1√x)dx
题1-5
选C
(32x2)′=322x=3x
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