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2-5函数的微分

 

  • 微分的定义
  • 微分的几何意义
  • 基本初等函数的微分公式与微分运算法则

微分的定义

引例


定义

可导等价于可微分


dy=f(x0)Δx,dx=Δx

例题 求增量对应的微分

微分的几何意义


在点M1的附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段。

基本初等函数的微分公式与微分运算法则


dy=f(x)dx求函数的微分dy:求出导数f(x),再乘dx

基本初等函数的微分公式



函数和差积商的微分运算法

复合函数的微分法则


习题

题1-1


解:这题考微分的定义式:
dy=f(x0)Δx,dx=Δx
所以:
y=2x
dy=y|x=1Δx=2×1×0.01=0.02

题1-2


dy=ydx=ycosx+sin(xy)sin(xy)sinxdx
解:
方程两本同时对x求导得:
ysinx+ycosx(sin(xy)×(1y))=0ysinx+ycosx+(sin(xy)×(1y))=0ysinx+ycosx+sin(xy)ysin(xy)=0y(sinxsin(xy))+ycosx+sin(xy)=0
得到:
y=(ycosx+sin(xy))(sinxsin(xy))y=ycosx+sin(xy)sin(xy)sinx
所以dy=ydx=ycosx+sin(xy)sin(xy)sinxdx

题1-3


dy|x=1=y|x=1dx=(1e)dx
导数公式:(x)=12x
y|x=1=(212xex)|x=1=11e1=1e
所以:
dy|x=1=y|x=1dx=(1e)dx

题1-4


dy=ydx=(1x2+1x)dx
导数公式:
(x)=12x
(1x)=1x2
所以:
y=1x+2x=1x2+1x
所以
dy=ydx=(1x2+1x)dx

题1-5


选C
(32x2)=322x=3x

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