测验1

题1

$y=2^x$ 是增函数， $2^0=1< 2^x <2=2^1$ ，
所以 $0<x<1$ .

题2

$\begin{align} &f(\dfrac{1}{x}) \nonumber \\ =&f(x^{-1}) \nonumber \\ =&x(1+\sqrt{x^2+1}) \nonumber \\ \end{align}$

所以
$\begin{align} f(x)=&f((x^{-1})^{-1}) \nonumber \\ =&x^{-1}(1+\sqrt{(x^{-1})^2+1}) \nonumber \\ =&x^{-1}(1+\sqrt{x^{-2}+1}) \nonumber \\ =&x^{-1}(1+\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{x^2}{x^2}}) \nonumber \\ =&x^{-1}(1+\sqrt{\dfrac{1+x^2}{x^2}}) \nonumber \\ =&x^{-1}(1+\dfrac{\sqrt{1+x^2}}{x}) \nonumber \\ =&\dfrac{1}{x}(\dfrac{x+\sqrt{1+x^2}}{x}) \nonumber \\ =&(\dfrac{x+\sqrt{x^2+1}}{x^2}) \nonumber \\ \end{align}$

题3

$cos(x)$ 是周期函数，周期为 $2\pi$ ,所以 $cos2n\pi=cos2\pi=1$
$cos(2n\pi)$ 是初等函数，所以，极限值就等于函数值等于1

题4

当n为奇数时， $[(-1)^n+1]=2$ ,所以 $\lim \limits_{n \to \infty}2\dfrac{n-1}{n}=2$
当n为偶数时, $[(-1)^n+1]=0$ ,所以 $\lim \limits_{n \to \infty}2\dfrac{n-1}{n}=0$
所以极限不存在

题5

数列数列收敛则其子数列收敛，但是子数列收敛不能退出数列是否收敛。

题6

解: 先来看反比例函数的图像
$\lim \limits_{x \to 0 }2^{\dfrac{-1}{x}}$
这题求左右极限，
先求右极限： $\lim \limits_{x \to 0^+ }2^{\dfrac{-1}{x}}$ ，
令 $u(x)=\dfrac{-1}{x}$ ,则 $\lim \limits_{x \to 0^+ }u(x)=\dfrac{-1}{x}=- \infty$
,所以 $\lim \limits_{x \to 0^+ }2^{\dfrac{-1}{x}} =\lim \limits_{u(x) \to -\infty }2^{u(x)}=0$
再来求左极限: $\lim \limits_{x \to 0^- }2^{\dfrac{-1}{x}}$
令 $u(x)=\dfrac{-1}{x}$ ,则 $\lim \limits_{x \to 0^- }u(x)=\dfrac{-1}{x}=+ \infty$
左极限不等于右极限，所以极限不存在

题7

解:y=x^2函数图像,
$\lim \limits_{x \to 0 }f(x)=\lim \limits_{x \to 0 }x^2=0$ ，排除A
$\lim \limits_{x \to -1^- }f(x)=\lim \limits_{x \to -1^- }x^2=1$ ,正确
$\lim \limits_{x \to 1^- }f(x)=\lim \limits_{x \to 1^- }x^2=1$
$\lim \limits_{x \to 1^+ }f(x)=\lim \limits_{x \to 1^+ }0=0$ 排除D
所以 $\lim \limits_{x \to 1 }f(x)$ 不存在排除C

题8

解:cosx是震荡函数，不存在极限，排除C
$x \to +\infty$ 时， $-x \to -\infty$ 所以， $\lim \limits_{x \to \infty^+ }2^{-x}=2^{-\infty}=0$
$x \to -\infty$ 时， $-x \to +\infty$ ，所以 $\lim \limits_{x \to \infty^+ }2^{-x}=2^{+\infty}=+\infty$
左右极限不想的，所以不存在极限，所以排除D
符号函数图像
符号函数 $|sgnx|\le 1$ , $\lim \limits_{x \to \infty }\dfrac{1}{x}=0$ ,所以 $\lim \limits_{x \to \infty }\dfrac{sgnx}{x}=0$ ,有界函数与无穷小的乘积是无穷小

题9

解:
$\begin{align} &\lim \limits_{x \to \infty }(\dfrac{x^3}{x^2+1}-\dfrac{x^2}{x+1}) \nonumber \\ =&\lim \limits_{x \to \infty }\dfrac{(x^3)(x+1)-(x^2)(x^2+1)}{(x^2+1)(x+1)} \nonumber \\ =&\lim \limits_{x \to \infty }\dfrac{(x^4+x^3)-(x^4+x^2)}{x^3+x^2+x+1} \nonumber \\ =&\lim \limits_{x \to \infty }\dfrac{x^3-x^2}{x^3+x^2+x+1} \nonumber \\ =&1 \nonumber \\ \end{align}$

题10

水平渐近线定义
$f(x)$ 水平渐近线，就是 $\lim \limits_{x \to \infty }f(x)$ 的值
因为 $\lim \limits_{x \to \infty }\dfrac{1}{x^3-3x^2-7}=0$ ， $|sinx|\le 1$ ,所以：
$\lim \limits_{x \to \infty }\dfrac{sinx}{x^3-3x^2-7}=0$
有界函数与无穷小的乘积依然是无穷小

测验2

题1

解:
由平方和公式:
$(x+2)^2=x^2+2\times2x+4$
令:
$f(x+2)=(x+2)^2+g(x)=x^2+2x-5$
得:
$\begin{align} g(x)=&x^2+2x-5-(x^2+4x+4) \nonumber \\ =&-2x-9 \nonumber \\ =&-2x-2\times2+2\times2-9 \nonumber \\ =&-2(x+2)-5 \nonumber \\ \end{align}$
所以 $f(x+2)=(x+2)^2+g(x)=(x+2)^2-2(x+2)-5$ ,
所以 $f(x)=x^2-2x-5$
所以 $f(x-h)=(x-h)^2-2(x-h)-5$
选B

题2

题3

这题考数列有界性定理

如果数列 $x_n$ 收敛,则数列 $x_n$ 一定有界,反之，如果数列有界,则其未必收敛;
推论:如果数列无界,则其一定发散;

无界一定发散，但是发散不一定无界，所以是充分非必要条件

题4

解:
$\begin{align} &\lim \limits_{x \to 1^- }f(x) \nonumber \\ =&\lim \limits_{x \to 1^- }(-x+3) \nonumber \\ =&-1+3 \nonumber \\ =&2 \nonumber \\ \end{align}$
$\begin{align} &\lim \limits_{x \to 1^+ }f(x) \nonumber \\ =&\lim \limits_{x \to 1^+ }(-x-1) \nonumber \\ =&-1-1 \nonumber \\ =&-2 \nonumber \\ \end{align}$

题5

解:发比例函数 $y=\dfrac{-1}{x}$ 图像在二四象限。
$\lim \limits_{x \to 0^- }\dfrac{-1}{x}=+\infty$
所以 $\lim \limits_{x \to 0^- }2^{\dfrac{-1}{x}}=+\infty$
$\lim \limits_{x \to 0^+ }\dfrac{-1}{x}=-\infty$
所以 $\lim \limits_{x \to 0^- }2^{\dfrac{-1}{x}}=0$
左右极限不存在，所以函数极限不存在

题6

解:由函数极限的局部有界性可知，极限存在可以退出局部有界。
但是局部有界不能退出极限存在，如 $sinx$ 有界，但是 $\lim \limits_{x \to -\infty }sinx$ 不存在

题7

解:
$\begin{align} &\lim \limits_{x \to -2 }\dfrac{x^2-4}{x+2} \nonumber \\ =&\lim \limits_{x \to -2 }\dfrac{(x+2)(x-2)}{x+2} \nonumber \\ =&\lim \limits_{x \to -2 }(x-2) \nonumber \\ =&-4 \nonumber \\ \end{align}$

题8

解:因为 $cosx$ 是震荡函数 $\lim \limits_{x \to \infty }cosx$ 不存在，排除A
$|sgnx|\le 1$ ,是有界函数， $\lim \limits_{x \to \infty }\dfrac{1}{x}=0$ ，
所以当 $x \to \infty$ 时, $\dfrac{1}{x}$ 为无穷小量，有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量。所以极限存在且为0
$\lim \limits_{x \to +\infty }2^{-x}=2^{-\infty}=0$
$\lim \limits_{x \to -\infty }2^{-x}=2^{+\infty}=+\infty$
左右极限不相等，所以极限不存在
D极限为 $\infty$ ，本质上并不是极限。

题9

如果: $\lim \limits_{x \to \infty }f(x)=b$ 则y=b为曲线f(x)的水平渐近线，
如果: $\lim \limits_{x \to x_0 }f(x)= \infty$ 则 $x=x_0$ 为曲线f(x)的垂(铅)直渐近线，
$\lim \limits_{x \to \infty }\dfrac{1}{x^3-3x^2-7}=0$ ,
$|sinx|\le 1$ ,所以 $\lim \limits_{x \to \infty }\dfrac{sinx}{x^3-3x^2-7}=0$
有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量

题10

解: $\lim \limits_{x \to \infty }\dfrac{2x^2+x+1}{x^2-1}=2$
所以水平渐近线为 $y=2$

本文链接: 第一讲测验