自动控制原理NJUPT MOOC作业题2-3
课后习题:2.10
设系统传递函数为
$\dfrac{C(s)}{R(s)}=\dfrac{2}{s^2+3s+2}$
初始条件$c(0)=1$,$\dot{c}(0)$.求单位阶跃输入$r(t)=1(t)$时,系统的输出响应$c(t)$.
考点
知识点窍:拉氏变换、拉氏反变换
逻辑推理:
- 先通过系统的传递函数写出系统所对应的微分方程,
- 再通过拉氏变换和拉氏反变换相关知识求出阶跃输入时系统的输出响应。
函数拉式变换公式
$L[\dfrac{d}{dt}f(t)]=sF(s)-f(0)$
$L[\dfrac{d^2}{dt^2}f(t)]=s^2F(s)-sf(0)-f’(0)$
$L[e^{-at}]=\dfrac{1}{s+a}$，$L^{-1}[\dfrac{1}{s+a}]=e^{-at}$
解
该系统传递函数$\dfrac{C(s)}{R(s)}=\dfrac{3}{s^2+3s+2}$所对应的微分方程为:
$$
\dfrac{d^2c(t)}{dt^1}+3\dfrac{dc(t)}{dt}+2c(t)=2r(t)
$$
对上式两边同时做拉式变换,可得：
$$
s^2C(s)-sc(0)-\dot{c}(0)+3[sC(s)-c(s)]+2C(s)=2R(s)
$$
将已知条件$c(0)=-1,\dot{c}(0)=0,R(s)=\dfrac{1}{s}$代入整理得:
$$
\begin{aligned}
C(s)=&\dfrac{-s^2-3s+2}{s(s^2+3s+2)} \\
=&\dfrac{1}{s}-\dfrac{4}{s+1}+\dfrac{2}{s+2} \\
\end{aligned}
$$
对上式两边同时进行拉氏反变换可得:
$c(t)=1-4e^{-t}+2e^{-2t}\quad (t \geq 0)$
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