自动控制原理MOOC作业题2
第1题
求下列函数的拉氏反变换
(1)$F(s)=\dfrac{s-1}{(s+2)(s+5)}$
草稿
$$
\begin{aligned}
F(s)=&\dfrac{s-1}{(s+2)(s+5)} \\
=&\dfrac{s-1}{s^2+7s+10} \\
\end{aligned}
$$
可以看到分子中$s$最高次数为$1$,分母中$s$最高次数为$2$.这个分式是一个真分式,则可以展开为展开为如下形式(例题)
$$
\begin{aligned}
F(s)=&\dfrac{s-1}{(s+2)(s+5)} \\
=&\dfrac{A}{s+2}+\dfrac{B}{s+5} \\
\end{aligned}
$$
则:
$$
\begin{aligned}
s-1=&A(s+5)+B(s+2) \\
=&As+5A+Bs+2B \\
=&(A+B)s+(5A+2B) \\
\end{aligned}
$$
可得:
$$
\begin{cases}
A+B=1 \\
5A+2B=-1
\end{cases}
$$
解得:
$$
\begin{cases}
A=-1 \\
B=2
\end{cases}
$$
所以:
$$
\begin{aligned}
F(s)=&\dfrac{-1}{(s+2)}+\dfrac{2}{s+5} \\
=&2\times\dfrac{1}{s+5}-\dfrac{1}{s+2} \\
\end{aligned}
$$
解
$$
\begin{aligned}
F(s)=&\dfrac{s-1}{(s+2)(s+5)} \\
=&2\times\dfrac{1}{s+5}-\dfrac{1}{s+2} \\
\end{aligned}
$$
根据反拉氏变换公式：$L^{-1}[\dfrac{1}{s+a}]=e^{-at}$
可得：
$F(s)=2e^{-5t}-e^{-2t}$
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