要求: 理解原函数，不定积分的概念与性质，熟记基本积分公式
题1
已知$f(x)=\dfrac{1}{2}\sin^2x$,$g(x)=-\dfrac{1}{4}\cos 2x$,$h(x)=-\dfrac{1}{4}cos ^2x$,试问$f(x),g(x),h(x)$是同一个函数的原函数吗？
$\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha$
解:如果$F’(x)=f(x)$,则:$F(x)$是$f(x)$的原函数
$f’(x)=\dfrac{1}{2}2\sin x\cos x=\dfrac{1}{2}\sin2x$
$g’(x)=-\dfrac{1}{4}(-sin2x)2=\dfrac{1}{2}sin2x$
$h’(x)=-\dfrac{1}{4}2cosx(-sinx)=\dfrac{1}{2}sinxcosx=\dfrac{1}{2}sin2x$
所以$f(x),g(x),h(x)$都是$\dfrac{1}{2}sin2x$的原函数
题2
设$F(x)$是$f(x)=-\dfrac{1}{1+x^2}$的一个原函数，且$F(0)=\dfrac{\pi}{2}$,求$F(x)$
本文链接: 习题册 4-1不定积分的概念与性质
