第1题
自动控制原理完整版课后习题答案pdf5-3,相似题目
设系统结构图如图所示,试确定输入信号r(t)=sin(t+30°)作用下，系统的稳态误差e_ss(t)
知识点
误差传递函数,频率特性的定义
先求出系统的误差传递函数,得到其幅频特性和相频特性,再根据频率特性的定义求出系统的稳态误差e_{ss}(t)。
解
系统的误差传递函数为:
\Phi_e(s)=1-\Phi(s)=1-\dfrac{\dfrac{1}{s+1}}{1+ \dfrac{1}{s+1}}=\dfrac{s+1}{s+2}
其幅频特性和相频特性分別为:
\left\vert \Phi_e(j\omega) \right\vert= \sqrt{\dfrac{\omega^2+1}{\omega^2+4}},\varphi_e(j\omega)=\arctan\omega-\arctan\dfrac{\omega}{2}
当r(t)=sin(t+30°)时
\begin{aligned} e_{ss}(t)=&\sqrt{\dfrac{1+1}{1+4}}sin(t+30°+\arctan1-\arctan\dfrac{1}{2}) \\ =&\dfrac{\sqrt{10}}{5}sin(t+30°+45°-26.57°) \\ =&0.63sin(t+18.43°) \\ \end{aligned}
第2题
自动控制原理完整版课后习题答案pdf5-8
已知系统开环传递函数G(s)=\dfrac{10}{s(s/5+1)(s/200+1)},计算出截止频率
解
由题可得:
G(j\omega)=\dfrac{10}{j\omega(\dfrac{j\omega}{5}+1)(\dfrac{j\omega}{200}+1)}
则
\left\vert G(j\omega) \right\vert=10\omega^{-1}(1+\dfrac{\omega^2}{25})^{-\frac{1}{2}}(1+\dfrac{\omega^2}{200^2})^{-\frac{1}{2}},
\varphi(\omega)=-\dfrac{\pi}{2}-\arctan\dfrac{\omega}{5}-arctan\dfrac{\omega}{200}
因此
20\ln\left\vert G(j\omega) \right\vert=20-20\ln\omega-10\ln(1+\dfrac{\omega^2}{25})-10\ln(1+\dfrac{\omega^2}{200^2})
对数频率特性曲线如下图所示:
又20ln\left\vert G(j\omega) \right\vert=0,可得\left\vert G(j\omega) \right\vert=2，即10\omega^{-1}(1+\dfrac{\omega^2}{25})^{-\frac{1}{2}}(1+\dfrac{\omega^2}{200^2})-\frac{1}{2}=1
计算可得:\omega_c=\sqrt{50}rad/s
第3题
自动控制原理完整版课后习题答案pdf5-17
已知某最小相位系统的开环对数幅频特性如图所示,L_1=8dB,写出其开环传递函数。
解
(1)确定系统积分或微分环节的个数。
因对数幅频渐近特性曲线的低频渐近线的斜率为 -20\gamma dB/dec ,
由图可知,低频渐近斜率为 -40dB/dec ,故 \gamma=2 ,系统含有 2 个积分环节。
(2)确定系统传递函数结构形式。由于对数幅频渐近特性曲线为分段折线,
其各转折点对应的频率为所含一阶或一阶环节的交接频率,
每个交接频率处斜率的变化取决于环节的种类。
- \omega=\omega_1=0.5 处,斜率变化 20dB/dec ,对应微分环节;
- \omega=\omega_2=2 处,斜率变化 -20dB/dec ,对应惯性环节;
- \omega=\omega_2=5 处,斜率变化 -20dB/dec ,对应惯性环节。
因此,所测系统具有下述传递函数:
G(s)=\dfrac{K(1+T_1s)}{s^2(1+T_2s)(1+T_3s)}=\dfrac{K(1+\dfrac{1}{\omega_1}s)}{s^2(1+\dfrac{1}{\omega_2}s)(1+\dfrac{1}{\omega_3}s)}
其中K待定。
(3)低频渐近线方程为
L_a(\omega)=20\ln \dfrac{K}{\omega^{\gamma}}=20\ln K-20\gamma\ln\omega=20\ln K-40\ln\omega
由L_1(0.5)=8dB,得到K=10
故所测系统传递函数为:
G(s)=\dfrac{10(1+2s)}{s^2(1+0.5s)(1+0.2s)}
第4题
自动控制原理完整版课后习题答案pdf5-13,第1小题()
已知系统开环传递函数G(s)(2s+1)(s+1),试根据奈氏判据,确定其闭环稳定时,K值的范围。
解
由系统的开环传递函数可知,系统的开环曲线图如下图所示:
由于P=0,故想要闭环系统稳定,必有N=0,即幅相曲线不包围点(-1,j0)。
系统的频率特性表达式如下:
G(j\omega)=\dfrac{K}{j\omega(2j\omega+1)(j\omega+1)}=\dfrac{-3K\omega^2+jK\omega(2\omega^2-1)}{(9\omega^4+\omega^2(2\omega^2-1)^2}
对于开环幅相曲线与实轴的交点有:
\dfrac{K\omega(2\omega^2-1)}{9\omega^4+\omega^2(2\omega^2-1)^2}=0
由上式可得\omega=\dfrac{\sqrt{2}}{2},则交点的实轴坐标为:
\dfrac{-3K\omega^2}{(9\omega^4+\omega^2(2\omega^2-1)^2}>-1
由上式可得0<K<\dfrac{3}{2}
第5题
自动控制原理完整版课后习题答案pdf5-14
某系统的开环传递函数为Q(s)=\dfrac{K(T_2s+1)}{s^2(T_1s+1)},要求画出0<2<T_1下的奈奎斯特曲线,并判断闭环系统的稳定性。
解
当0<T_2<T_1时,
Q(j\omega)=\dfrac{K(jT_2\omega+1)}{-\omega^2(1+jT_1\omega)}=\dfrac{K(1+T_1T_2\omega^2)+K\omega(T_2-T_1)}{-\omega^2(1+T_1^2\omega^2)}
如果 \omega=0_+,则 \left\vert Q(j0_+) \right\vert=\infty,\varphi(0_+)=-180°
如果 \omega=+\infty,则 \left\vert Q(j0_+) \right\vert=0,\varphi(0_+)=-180°
其开环幅相曲线如下图所示:
P=0,N=-1
则Z=P-2N=2,故系统不稳定
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