华中科大
1-1习题
自动控制是指在没有人直接参与的情况下，利用（ ），使被控对象的被控制量自动地按预定规律变化。
A.检测装置
B.控制装置
C.执行装置
D.放大装置
正确答案：B你选对了
1-2习题
线性定常控制系统的微分方程或差分方程的系数是（ ）。
A.常数
B.变量
C.随时间变化的函数
D.A、B、C都不对
正确答案：A你选对了
1-3习题
对控制系统的基本要求有（ ）
A.稳定性、快速性、准确性
B.系统的稳态误差为零
C.系统达到稳态时，应满足稳态性能指标
D.系统在暂态过程中，应满足动态性能指标要求
正确答案：A、C、D你选对了
1-4习题
经典控制理论主要是以（ ）为基础，研究单输入单输出系统的分析和设计问题。
A.传递函数
B.微分方程
C.状态方程
D.差分方程
正确答案：A你选对了
2-1数学模型的引出
判断一个控制系统是线性系统的条件是（）。
A.满足加和性
B.满足齐次性
C.同时满足加和性和齐次性
D.能够用微分方程模型描述的系统
正确答案：C你选对了
2-2 微分方程模型
题1
下面条目中，（）不是微分方程模型的标准形式所要求的。
A.与输入量相关的项放在方程右边。
B.与输出量相关的项放在方程左边。
C.方程两边分别按照导数的降幂进行排列。
D.输出与输入的零阶导数项放在方程右边。
正确答案：D你选对了
题2
同一个控制系统可以有不同的微分方程模型。
A.对
B.错
正确答案：A你选对了
题3
下面说法错误的是：
A.初始条件的改变会改变系统的输出响应。
B.输入信号的改变会改变系统的输出响应。
C.系统参数的改变会改变系统的输出响应。
D.系统结构参数固定后系统的输出响应不会发生变化。
正确答案：D你选对了
用拉氏变换求解微分方程
用拉普拉斯变换求解微分方程的一般步骤是:
- 对线性微分方程的
每一项进行拉氏变换,使微分方程变成以s为变量的代数方程;注意初始条件的处理。 - 求解代数方程,得到输出变量
象函数的表达式; - 将象函数展开成部分分式;
- 对部分分式进行
拉氏反变换,得到微分方程的解.
拉氏变换复习
拉普拉斯变换
$\dfrac{d}{dt}f(t)\to sF(s)-f(0)$
$\dfrac{d^2}{dt^2}f(t)\to s^2F(s)-sf(0)-f’(0)$
拉普拉斯反变换
通常首先进行部分分式展开,然后查表求拉氏反变换。
| 序号 | 拉式变换 |
|---|---|
| 1 | $1(t)\to \dfrac{1}{s}$ |
| 2 | $t\to \dfrac{1}{s^2}$ |
| 3 | $\dfrac{1}{2} t^2\to \dfrac{1}{s^3}$ |
| 4 | $e^{-at}\to \dfrac{1}{s+a}$ |
| 5 | $\sin bt\to \dfrac{b}{s^2+b^2}$ |
| 6 | $\cos bt \to \dfrac{s}{s^2+b^2}$ |
| 7 | $e^{-at}\sin bt\to \dfrac{b}{(s+a)^2+b^2}$ |
| 8 | $e^{-at}\cos bt \to \dfrac{s+a}{(s+a)^2+b^2}$ |
例1
已知系统的微分方程为:
$\dfrac{d^2y}{dt^2}+3\dfrac{dy}{dt}+2y=x$
式中$y$为系统的输出变量,$x$为输入变量,设$x=20\cdot1(t)$,初始条件为$y(0)=5$,$\dot{y}(0)=15$,求系统的输出$y(t)$
【解】对微分方程进行拉氏变换得:
$$
\begin{aligned}
s^2Y(s)-sy(0)-y’(0)+3(sY(s)-y(0))+2Y(s)=&20\cdot1(t) \notag \\
s^2Y(s)-sy(0)-y’(0)+3sY(s)-3y(0)+2Y(s)=&20\cdot\dfrac{1}{s} \notag \\
\end{aligned}
$$
将初始条件$y(0)=5$,$\dot{y}(0)=y’(0)=15$代入:
$$
\begin{aligned}
s^2Y(s)-sy(0)-y’(0)+3(sY(s)-y(0))+2Y(s)=&20\cdot1(t) \notag \\
s^2Y(s)-5s-15+3sY(s)-3\times 5+2Y(s)=&20\cdot\dfrac{1}{s} \notag \\
s^2Y(s)-5s+3sY(s)-30+2Y(s)=&20\cdot\dfrac{1}{s} \notag \\
s^2Y(s)+2Y(s)+3sY(s)=&20\cdot\dfrac{1}{s}+5s+30 \notag \\
(s^2+3s+2)Y(s)=&20\cdot\dfrac{1}{s}+5s+30 \notag \\
Y(s)=&\dfrac{20\cdot\dfrac{1}{s}+5s+30}{(s^2+3s+2)} \notag \\
\end{aligned}
$$
可得系统输出的拉氏反变换为:
$$
\begin{aligned}
Y(s)=&\dfrac{20\cdot\dfrac{1}{s}+5s+30}{(s^2+3s+2)} \\
Y(s)=&\dfrac{20+5s^2+30s}{s(1s^2+3s+2)} \\
Y(s)=&\dfrac{5s^2+30s+20}{s(s^2+3s+2)} \\
\end{aligned}
$$
将上式展开成部分分式：
$$
\begin{aligned}
Y(s)=&\dfrac{5s^2+30s+20}{s(s^2+3s+2)} \\
Y(s)=&\dfrac{5s^2+30s+20}{s(s+1)(s+2)} \\
\end{aligned}
$$
设$5s^2+30s+20=a[s(s+1)]+b[s(s+2)]+c[(s+1)(s+2)]$,则有:
$$
\begin{aligned}
5s^2+30s+20=&a[s(s+1)]+b[s(s+2)]+c[(s+1)(s+2)] \\
=&a(s^2+s)+b(s^2+2s)+c(s^2+3s+2) \\
=&(a+b+c)s^2+(a+2b+3c)s+(2c) \\
\end{aligned}
$$
可得:
$$
\begin{cases}
a+b+c=5 \\
a+2b+3c=30 \\
2c=20
\end{cases}
$$
解得:
$$
\begin{cases}
a=-10 \\
b=5 \\
c=10
\end{cases}
$$
即:$5s^2+30s+20=-10[s(s+1)]+5[s(s+2)]+10[(s+1)(s+2)]$,则:
$$
\begin{aligned}
Y(s)=&\dfrac{5s^2+30s+20}{s(s+1)(s+2)} \\
Y(s)=&\dfrac{-10[s(s+1)]+5[s(s+2)]+10[(s+1)(s+2)]}{s(s+1)(s+2)} \\
Y(s)=&\dfrac{-10[s(s+1)]}{s(s+1)(s+2)}+\dfrac{5[s(s+2)]}{s(s+1)(s+2)}+\dfrac{10[(s+1)(s+2)]}{s(s+1)(s+2)} \\
Y(s)=&\dfrac{-10}{s+2}+\dfrac{5}{s+1}+\dfrac{10}{s} \\
\end{aligned}
$$
得到部分积形式:$
Y(s)=-10\dfrac{1}{s+2}+5\dfrac{1}{s+1}+10\dfrac{1}{s}\\
$
进行拉氏反变换得:$
y(t)=-10e^{-2t}+5e^{-t}+10\times1(t)
y(t)=10+5e^{-t}-10e^{-2t}
$
$\dfrac{d}{dt}f(t)\to sF(s)-f(0)$
$\dfrac{d^2}{dt^2}f(t)\to s^2F(s)-sf(0)-f’(0)$
$1(t)\to \dfrac{1}{s}$
$y(t)\to Y(s)$
$e^{-at}\to \dfrac{1}{s+a}$
$1(t)\to \dfrac{1}{s}$
详细结果:
例2
用拉氏变换解微分方程
$$
\begin{cases}
T\dfrac{dy}{dt}+y=r\quad r=1(t) \\
y(0)=0
\end{cases}
$$
【解】方程两边进行拉氏变换得:$T(sY(s)-y(0))+Y(s)=R(s)$,代入:$R(s)=L(1(t))=\dfrac{1}{s}$,$y(0)=0$得:
$$
\begin{aligned}
TsY(s)+Y(s)=&\dfrac{1}{s} \\
Y(s)(Ts+1)=&\dfrac{1}{s} \\
Y(s)=&\dfrac{1}{s(Ts+1)} \\
\end{aligned}
$$
现在要把这个换成部分积的形式,先把Ts中的T消去得:
$Y(s)=\dfrac{\frac{1}{T}}{s(s+\frac{1}{T})}$,然后加上s-s得到:
$Y(s)=\dfrac{s+\frac{1}{T}-s}{s(s+\frac{1}{T})}$,然后就得到部分积形式的了:
$Y(s)=\dfrac{1}{s}-\dfrac{1}{s+\frac{1}{T}}$
然后就可以根据拉式变换公式:
$1(t)\to \dfrac{1}{s}$
$e^{-at}\to \dfrac{1}{s+a}$
得$y(t)=1(t)-e^{\frac{1}{T}t}$
若$r(t)=\delta(t)$,则(具体怎么来的我还不懂先背吧)
$Y(s)=\dfrac{1}{Ts+1}=\dfrac{1}{T}\dfrac{1}{s+\frac{1}{T}}$
$y(t)=\dfrac{1}{T}e^{-\frac{t}{T}}$
零初始条件下单位脉冲响应是单位阶跃响应的导数。
原文链接: 自动控制原理 第一章习题集
