复数计算

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复数计算

虚数i的

  • $i^2=-1$
  • $i$可以与实数一起进行四则运算,并且加,乘法运算律不变

复数

定义:形如 $a$+$bi$ (其中 $a,b\in R$ )的数称为复数,记做 $z=a+bi$,其中

  • $a$ 叫做复数 $z$ 的实部,
  • $b$ 叫做复数 $z$ 的虚部,

全体复数集合记为$C$

复数的加法

$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$,$(a,b,c,d\in R)$
也就是实部和实部相加,虚部和虚部相加

交换律和结合律

$z_1+z_2=z_2+z_1$
$(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)$

复数的乘法

推导:
$(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi^2=(ac+bdi^2)+(bc+ad)i=(ac-bd)+(bc+ad)i$
结论:
复数的乘法:$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i$
即两个复数的积仍是复数,复数的乘法与多项式的乘法类似,但在运算过程中,需要用$i^2=-1$进行化简,然后将实部和虚部分别合并

复数的乘方

$z^m\cot z^n=z^{m+n}$
$(z^n)^m=z^{nm}$
$z_1^n\cot z_2^n=(z_1z_2)^n$

如果$n\in N^*$,有

  • $i^{4n}=1$,
  • $i^{4n+1}=i$,
  • $i^{4n+2}=-1$,
  • $i^{4n+3}=-i$

$(1-i)^2=-2i$,$(1+i)^2=2i$

共轭复数

实部相等,虚部互为相反数的两个复数的乘积是非负实数。
$(a+bi)(a-bi)=a^2-b^2i^2=a^2+b^2$
两个复数的实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫作互为共轭复数。复数$z$的共轭复数用之表$\overline{z}$
$z=a+bi$和$\overline{z}=a-bi$互为共轭复数.
乘法运算率在复数范围内仍然成立
乘法交换律
乘法结合律
乘法分配律

复数的除法

推导:
$$
\begin{aligned}
\dfrac{a+bi}{c+di}=&\dfrac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)} \\
=&\dfrac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2} \\
=&\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}+\dfrac{bc-ad}{c^2+d^2}i \\
\end{aligned}
$$

$\dfrac{a+bi}{c+di}=\dfrac{ac+bd}{c^2+b^2}+\dfrac{bc-ad}{c^2+d^2}i$

参考资料

复数计算
3.2复数的四则运算

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