复数计算
虚数i的
- i2=−1
- i可以与实数一起进行四则运算,并且加,乘法运算律不变
复数
定义:形如 a+bi (其中 a,b∈R )的数称为复数,记做 z=a+bi,其中
- a 叫做复数 z 的实部,
- b 叫做复数 z 的虚部,
全体复数集合记为C
复数的加法
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,(a,b,c,d∈R)
也就是实部和实部相加,虚部和虚部相加
交换律和结合律
z1+z2=z2+z1
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
复数的乘法
推导:
(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac+bdi2)+(bc+ad)i=(ac−bd)+(bc+ad)i
结论:
复数的乘法:(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(bc+ad)i
即两个复数的积仍是复数,复数的乘法与多项式的乘法类似,但在运算过程中,需要用i2=−1进行化简,然后将实部和虚部分别合并
复数的乘方
zmcotzn=zm+n
(zn)m=znm
zn1cotzn2=(z1z2)n
如果n∈N∗,有
- i4n=1,
- i4n+1=i,
- i4n+2=−1,
- i4n+3=−i
(1−i)2=−2i,(1+i)2=2i
共轭复数
实部相等,虚部互为相反数的两个复数的乘积是非负实数。
(a+bi)(a−bi)=a2−b2i2=a2+b2
两个复数的实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫作互为共轭复数。复数z的共轭复数用之表¯z
z=a+bi和¯z=a−bi互为共轭复数.
乘法运算率在复数范围内仍然成立
乘法交换律
乘法结合律
乘法分配律
复数的除法
推导:
a+bic+di=(a+bi)(c−di)(c+di)(c−di)=(ac+bd)+(bc−ad)ic2+d2=ac+bdc2+d2+bc−adc2+d2i
a+bic+di=ac+bdc2+b2+bc−adc2+d2i
参考资料
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