Processing math: 100%

复数计算

复数计算

虚数i的

  • i2=1
  • i可以与实数一起进行四则运算,并且加,乘法运算律不变

复数

定义:形如 a+bi (其中 a,bR )的数称为复数,记做 z=a+bi,其中

  • a 叫做复数 z 的实部,
  • b 叫做复数 z 的虚部,

全体复数集合记为C

复数的加法

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,(a,b,c,dR)
也就是实部和实部相加,虚部和虚部相加

交换律和结合律

z1+z2=z2+z1
(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)

复数的乘法

推导:
(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac+bdi2)+(bc+ad)i=(acbd)+(bc+ad)i
结论:
复数的乘法:(a+bi)(c+di)=(acbd)+(bc+ad)i
即两个复数的积仍是复数,复数的乘法与多项式的乘法类似,但在运算过程中,需要用i2=1进行化简,然后将实部和虚部分别合并

复数的乘方

zmcotzn=zm+n
(zn)m=znm
zn1cotzn2=(z1z2)n

如果nN,有

  • i4n=1,
  • i4n+1=i,
  • i4n+2=1,
  • i4n+3=i

(1i)2=2i,(1+i)2=2i

共轭复数

实部相等,虚部互为相反数的两个复数的乘积是非负实数。
(a+bi)(abi)=a2b2i2=a2+b2
两个复数的实部相等,虚部互为相反数的两个复数叫作互为共轭复数。复数z的共轭复数用之表¯z
z=a+bi¯z=abi互为共轭复数.
乘法运算率在复数范围内仍然成立
乘法交换律
乘法结合律
乘法分配律

复数的除法

推导:
a+bic+di=(a+bi)(cdi)(c+di)(cdi)=(ac+bd)+(bcad)ic2+d2=ac+bdc2+d2+bcadc2+d2i

a+bic+di=ac+bdc2+b2+bcadc2+d2i

参考资料

复数计算
3.2复数的四则运算

原文链接: null

0%