2-9
2-9若某系统在阶跃输入$r(t)=1(t)$时,零初始条件下的输出响应$c(t)=1-e^{-2t}+e^{-t}$,试求系统的传递函数和脉冲响应。
知识点窍: 拉氏变换、拉氏反变换。
逻辑推理: 利用拉氏变换求系统的传递函数;利用拉氏反变换求脉冲响应。
$L[1(t)]= \dfrac{1}{s}$
$L[e^{-at}]= \dfrac{1}{s+a}$
$L^{-1}[1(t)]=\delta(t)$
对输入量求拉式变量$R(s)=L[1(t)]=\dfrac{1}{s}$,
对系统输出量$c(t)=1-e^{-2t}+e^{-t}$求拉式变换:
$C(s)=\dfrac{1}{s}-\dfrac{1}{s+2}+1 s+1$
整理:
$$
\begin{aligned}
C(s)=&\dfrac{1}{s}-\dfrac{1}{s+2}+\dfrac{1}{s+1} \\
=&\dfrac{(s+1)(s+2)-s(s+1)+s(s+2)}{s(s+1)(s+2)} \\
=&\dfrac{(s^2+3s+2)-(s^2+s)+(s^2+2s)}{s(s+1)(s+2)} \\
=&\dfrac{(s^2+3s+2)+s}{s(s+1)(s+2)} \\
=&\dfrac{s^2+4s+2}{s(s+1)(s+2)} \\
\end{aligned}
$$
所以传递函数:
$$
\begin{aligned}
G(s)=&\dfrac{C(s)}{R(s)} \\
=&\dfrac{\dfrac{s^2+4s+2}{s(s+1)(s+2)}}{\dfrac{1}{s}} \\
=&\dfrac{s^2+4s+2}{(s+1)(s+2)} \\
\end{aligned}
$$
化为部分积形式:
$$
\begin{aligned}
G(s)=&\dfrac{C(s)}{R(s)} \\
=&\dfrac{(s^2+3s+2)s}{(s+1)(s+2)} \\
=&\dfrac{(s+1)(s+2)+s}{(s+1)(s+2)} \\
=&1+\dfrac{s}{(s+1)(s+2)} \\
=&1+\dfrac{(s+1)-1}{(s+1)(s+2)} \\
=&1+\dfrac{(s+1)}{(s+1)(s+2)}-\dfrac{1}{(s+1)(s+2)} \\
=&1+\dfrac{1}{s+2}-\dfrac{(s+2)-(s+1)}{(s+1)(s+2)} \\
=&1+\dfrac{1}{s+2}-\left( \dfrac{(s+2)}{(s+1)(s+2)}-\dfrac{(s+1)}{(s+1)(s+2)} \right) \\
=&1+\dfrac{1}{s+2}-\left( \dfrac{1}{(s+1)}-\dfrac{1}{(s+2)} \right) \\
=&1+\dfrac{1}{s+2}-\dfrac{1}{(s+1)}+\dfrac{1}{(s+2)} \\
=&1+\dfrac{2}{s+2}-\dfrac{1}{(s+1)} \\
\end{aligned}
$$
所以系统的脉冲响应为:
$$
\begin{aligned}
k(t)=&L^{-1}[1+2\dfrac{1}{s+2}-\dfrac{1}{(s+1)}] \\
=&\delta(t)+2e^{-2t}-e^{-t} \\
\end{aligned}
$$
原文链接: 自动控制原理 作业题 2-9
